Límites y continuidad

(cod: P-44-15-9) Considere la función \(f(x) = x^2/3\) y sea \(P_0\) el punto del gráfico de \(f\) cuya primera coordenada es igual a \(1\). Fijado \(h \ne 0\), considere el punto \(P\) del gráfico de \(f\) cuya primera coordenada es igual a \(1 + h\) y denote por \(\varphi(h)\) el coeficiente angular de la recta que pasa por los puntos \(P_0\) y \(P\).

Es posible entender cómo \(\varphi(h)\) se comporta cuando hacemos que \(h\) tienda a cero. De hecho, existe un número real \(L\) tal que \[\lim\limits_{h \to 0} \varphi(h) = L.\] La recta \(r\) que pasa por el punto \(P_0\) y posee este número \(L\) como coeficiente angular se denomina recta tangente al gráfico de \(f\) en el punto \(P_0\) y se muestra en color lila en la animación a continuación.

La ecuación cartesiana de la recta \(r\) está dada por:

\(\displaystyle y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\)

\(y = \dfrac{1}{3}x \)

\(y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{3}\)

\(y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}\)

\(y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}\)