Límites y continuidad

(cod: P-43-17-7) Sea \(p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\), donde \(n \in \mathbb{N}\), una función polinómica con coeficientes reales. Seleccione la alternativa correcta:

Suponga que \(n\) es par. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado par con coeficientes reales tiene al menos una raíz.

Suponga que \(n\) es par. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado par con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

Suponga que \(n\) es impar. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = \infty\) y \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to +\infty} p(x) = +\infty\). De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

Suponga que \(n\) es impar. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty.\) Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Por lo tanto, no es posible afirmar que todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene una raíz real.

Suponga que \(n\) es impar. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = +\infty\) y \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.