Derivadas
(cod: P-49-43-6)
Decimos que una función \(f\) es diferenciable o derivable en un número \(x_0\) de su dominio si existe
\begin{equation}\label{eq1} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\end{equation}
y, en este caso, la derivada de \(f\) en \(x_0\), denotada por \(f'(x_0)\), está dada por el valor de este límite, es decir,
\[f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.\]
Para un valor de \(h\) fijado, la razón
\[\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \]
que aparece en el límite (\ref{eq1}), puede interpretarse como la inclinación (pendiente o coeficiente angular) de la recta secante
que pasa por los puntos \(P = (x_0+h,f(x_0+h))\) y \(P_0 = (x_0,f(x_0))\). Si \(f\) es diferenciable
en \(x_0\), la recta que pasa por \(P_0 = (x_0,f(x_0))\) y tiene inclinación \(f'(x_0)\) se denomina recta tangente al gráfico \(y = f(x)\) en \(P_0\).
En la animación a continuación, la recta tangente en \(P_0\) aparece en lila, en un caso en que \(x_0 = 1\).
Observamos que el límite en (\ref{eq1}) es equivalente al límite
\begin{equation}\label{eq3} \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},\end{equation}
es decir, si uno de ellos existe, entonces el otro también existe y tiene el mismo valor.
Dada una función \(f: U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), podemos considerar la derivada de \(f\) como siendo la función
\[f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h},\]
definida en el conjunto
\[ \{x \in U: \ f \text{ es diferenciable en } x\}.\]
Dada una función \(y = f(x)\), podemos utilizar otra forma de denotar su derivada, conocida como notación de Leibniz (observe que en esta notación, utilizamos \(\Delta x\) en lugar de \(h\)):
\[\dfrac{dy}{dx} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\overbrace{f(x+\Delta x) - f(x)}^{\Delta y}}{\Delta x}.\]
En realidad, tenemos varias formas de denotar la derivada de una función \(y = f(x)\). Presentamos algunas a continuación:
\[f'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx} \left(f(x)\right) = Df(x).\]
La notación de Leibniz enfatiza el carácter de la derivada como una tasa de variación. Si \(y = f(x)\), observe que
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]
representa una tasa media de variación de \(y\) con respecto a \(x\). La derivada surge cuando hacemos que \(\Delta x\) tienda a cero.
Consideremos un ejemplo más específico. Suponga que un objeto realiza un movimiento rectilíneo, de modo que su posición puede describirse a partir de
una función \(s = s(t)\) y representada gráficamente como un punto sobre un eje. Observe que
\[\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}\]
representa la velocidad media en el intervalo de tiempo entre los instantes \(t\) y \(t + \Delta t\). En este caso, la derivada de la función posición representa
la velocidad instantánea del objeto en el instante \(t\):
\[\small{v(t) = \dfrac{ds}{dt} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}.}\]
Vimos que, al derivar una función, obtenemos una nueva función, que es su derivada. Podemos entonces derivar esta nueva función, obteniendo la segunda derivada o derivada segunda o derivada
de segunda orden. La segunda derivada de una función \(y = f(x)\) se denota por
\[f''(x) \ \ \text{ o } \ \ \dfrac{d^2 y}{dx^2} \ \ \text{ o } \ \ f^{(2)}(x).\]
Procediendo inductivamente, si \(k\) es un número natural, podemos considerar la \(k\)-ésima derivada o derivada de orden \(k\) de \(y = f(x)\), la cual denotamos
por
\[f^{(k)}(x) \ \ \text{ o } \ \ \dfrac{d^k y }{dx^k}.\]
Si \(s = s(t)\) describe la posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la segunda derivada \(s''(t)\) representa la aceleración instantánea del objeto en el instante \(t\).
Considere las siguientes cuestiones:
(1) Si \(f\) es una función diferenciable en un número \(x_0\) de su dominio, ¿entonces \(f\) es necesariamente continua en \(x_0\)? Recíprocamente, si
una función \(f\) es continua en un número \(x_0\) de su dominio, ¿entonces \(f\) es necesariamente diferenciable en \(x_0\)?
(2) Si \(n\) es un número natural, determine la recta tangente al gráfico de la función \(f(x) = x^n\) en el punto \(P_0 = (1,1)\).
(3) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba. Su altura, en pies, transcurridos \(t\) segundos, está dada por
\(s = s(t) = 144t - 16t^2, \ t \in [0,9]\). Determine la velocidad \(v(t)\) del proyectil (en pies por segundo) y la aceleración \(a(t)\) del proyectil (en pies por segundo al cuadrado).
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