Derivadas

(cod: P-80-8-10) Sean \(a_1, a_2, \dots, a_n\) números positivos y considere la función \[f(t) = \left\{\begin{array}{ll} \left(\dfrac{a_1^t + \cdots + a_n^t}{n}\right)^{\frac{1}{t}}, & \text{ si } t \ne 0 \\ A, & \text{ si } t=0.\end{array} \right. \] Observe que, para cada \(t \ne 0\) fijado, \(f(t)\) representa un tipo de promedio de los números \(a_1, \dots, a_n\). Por ejemplo, \(f(1)\) es el promedio aritmético de estos números, mientras que \(f(-1)\) es el promedio armónico de los mismos. Determine el valor de la constante \(A\) para que la función \(f\) sea continua en \(t=0\).