Gráfico de funções e Problemas de Otimização

(cod: P-61-26-6) Considere as seguintes afirmações:

(1) Uma função contínua \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) em um intervalo fechado e limitado \([a,b]\) deve assumir um valor mínimo absoluto.

(2) Se uma função contínua possui um extremo local em um número \(x_0\) do seu domínio, então \(f\) deve ser diferenciável em \(x_0\) e \(f'(x_0)=0\).

(3) Se uma função contínua possui um ponto crítico em um ponto \(x_0\) no interior do seu domínio, então \(f\) possui um extremo local em \(x_0\).

(4) Se \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) é uma função contínua no intervalo compacto (fechado e limitado) \([a,b]\), então \(f\) assume um valor máximo absoluto. Além disso, ou esse valor é assumido em uma extremidade do intervalo ou em um ponto crítico de \(f\) em \((a,b)\).

(5) Seja \(f:I \to \mathbb{R}\) uma função contínua em em um intervalo aberto \(I\) que possui um ponto crítico em \(x_0 \in I\). Se \(f'(x)>0\) para todo \(x < x_0\) em \(I\) e \(f'(x)<0\) para todo \(x > x_0\) em \(I\), então \(f\) possui um máximo absoluto em \(x_0\).

Dentre as afirmações acima, podemos afirmar que: