Gráficas de funciones y problemas de optimización

(cod: P-61-26-6) Considere las siguientes afirmaciones:

(1) Una función continua \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) debe asumir un valor mínimo absoluto.

(2) Si una función continua posee un extremo local en un número \(x_0\) de su dominio, entonces \(f\) debe ser diferenciable en \(x_0\) y \(f'(x_0)=0\).

(3) Si una función continua posee un punto crítico en un punto \(x_0\) en el interior de su dominio, entonces \(f\) posee un extremo local en \(x_0\).

(4) Si \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) es una función continua en el intervalo compacto (cerrado y acotado) \([a,b]\), entonces \(f\) asume un valor máximo absoluto. Además, o este valor es asumido en un extremo del intervalo o en un punto crítico de \(f\) en \((a,b)\).

(5) Sea \(f:I \to \mathbb{R}\) una función continua en un intervalo abierto \(I\) que posee un punto crítico en \(x_0 \in I\). Si \(f'(x)>0\) para todo \(x < x_0\) en \(I\) y \(f'(x)<0\) para todo \(x > x_0\) en \(I\), entonces \(f\) posee un máximo absoluto en \(x_0\).

Entre las afirmaciones anteriores, podemos afirmar que: