Integrales y el Teorema Fundamental del Cálculo

(cod: P-68-40-3) Teorema Fundamental del Cálculo: Si \(f(x)\) es una función continua en un intervalo \([a,b]\) y \(F\) es una primitiva o antiderivada de \(f\), es decir, \[\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x),\] entonces \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).\]

El objetivo de este ejercicio es presentar una demostración para el Teorema Fundamental del Cálculo (T.F.C.). Para cada número natural \(n > 3\), considere la partición regular \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b}\] de \([a,b]\) en subintervalos de longitud \(\Delta x = (b-a)/n\). Observe que podemos escribir la variación de \(F\) en \([a,b]\) como la suma de las variaciones de \(F\) en los subintervalos. De hecho, tenemos que \begin{eqnarray*} & & F(b) - F(a) \\ & & \\ &=& F(x_n) - F(x_0) \\ & & \\ &=& \small{(F(x_n)- F(x_{n-1})) + (F(x_{n-1}) - F(x_{n-2}))} \\ & & \\ &+& \small{\cdots + (F(x_{2}) - F(x_{1})) + (F(x_1)-F(x_0))}. \end{eqnarray*} De hecho, observe que, en la suma larga, podemos cancelar varios términos, obteniendo solo el primero y el último (suma telescópica). Así, podemos concluir que \(\small{\begin{equation}\label{equa1}F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n F(x_i) - F(x_{i-1}).\end{equation}}\) Ahora, para cada \(i \in \{1,2,\dots,n\}\), existe \(x_i^* \in (x_{i-1},x_i)\) tal que \[\dfrac{F(x_i) - F(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} = F'(x_i^*),\] o, equivalentemente, \[\small{F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(x_i^*) \Delta x = f(x_i^*) \Delta x}.\] Por lo tanto, se sigue de la ecuación \((\ref{equa1})\) que, para cualquier \(n > 3\), \[F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] Haciendo \(n \to + \infty\) (considerando siempre \(x_i^*\) como se mencionó), concluimos que \[F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx,\] como queríamos demostrar.

Tenemos dos preguntas:

(1) ¿Qué teorema clásico garantiza que la frase en marrón es verdadera?

(2) ¿Por qué la frase en azul es verdadera?

La frase en marrón se deriva del Teorema del Valor Medio de Lagrange. Para justificar la frase en azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] es una suma de Riemann (con partición regular) de \(f\). Siendo \(f\) continua, es integrable en \([a,b]\), por lo tanto \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Pero, por otro lado, estas sumas de Riemann son siempre menores que \(F(b) - F(a)\) (cualquiera que sea \(n\)).

La frase en marrón se deriva de la Regla de la Cadena. Para justificar la frase en azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] es una suma de Riemann (con partición regular) de \(f\). Siendo \(f\) continua, es integrable en \([a,b]\), por lo tanto \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Pero, por otro lado, todas estas sumas de Riemann son iguales a \(F(b) - F(a)\) (cualquiera que sea \(n\)).

La frase en marrón se deriva del Teorema de los Valores Extremos. Para justificar la frase en azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] es una suma de Riemann (con partición regular) de \(f\). Siendo \(f\) continua, es integrable en \([a,b]\), por lo tanto \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Pero, por otro lado, todas estas sumas de Riemann son iguales a \(F(b) - F(a)\) (cualquiera que sea \(n\)).

La frase en marrón se deriva del Teorema del Valor Intermedio. Para justificar la frase en azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] es una suma de Riemann (con partición regular) de \(f\). Siendo \(f\) continua, es integrable en \([a,b]\), por lo tanto \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Pero, por otro lado, estas sumas de Riemann son siempre mayores que \(F(b) - F(a)\) (cualquiera que sea \(n\)).

La frase en marrón se deriva del Teorema del Valor Medio de Lagrange. Para justificar la frase en azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] es una suma de Riemann (con partición regular) de \(f\). Siendo \(f\) continua, es integrable en \([a,b]\), por lo tanto \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Pero, por otro lado, todas estas sumas de Riemann son iguales a \(F(b) - F(a)\) (cualquiera que sea \(n\)).