Métodos de integración
(cod: P-70-51-3)
Sustitución en integrales definidas: Sea \(u = g(x)\) una función con derivada continua en el intervalo \([a,b]\) y \(f\) una función continua en un intervalo \(J \supset g([a,b])\). Tenemos que
\begin{equation*}\label{subst} \int_a^b f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du.
\end{equation*}
De hecho, sea \(F(u)\) una primitiva para la función \(f(u)\) en el intervalo \(J\). Por el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que
\[\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du = F(g(b)) - F(g(a)).\]
Por otro lado, por la Regla de la Cadena, tenemos que
\begin{eqnarray*}\dfrac{d}{dx}F(g(x)) &=& F'(g(x))g'(x) \\ & & \\ &=& f(g(x))g'(x).\end{eqnarray*}
Así, nuevamente por el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que
\[\int_a^b f(g(x))g'(x) \, dx = F(g(b)) - F(g(a)),\]
lo que prueba la afirmación.
Muchas veces, cuando realizamos la sustitución \(u = g(x)\) en el contexto anterior, queremos cambiar la integral del lado izquierdo por la integral del lado derecho en la primera ecuación. En otros casos, partiendo de una integral
\[\int_A^B f(x) \, dx\]
optemos por hacer un cambio de variable
\begin{eqnarray*}
x &=& h(\theta), \theta \in I, \\
dx &=& h'(\theta) \, d\theta,
\end{eqnarray*}
donde tomamos \(h\) inyectiva (invertible) en el intervalo \(I\), con \(A, B \in h(I)\). Por el mismo argumento usado anteriormente, obtenemos entonces que
\[\int_A^B f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(h(\theta)) h'(\theta) \, d\theta,\]
donde
\begin{eqnarray*} A = h(a) &\iff& a = h^{-1}(A) \\
& & \\ B = h(b) &\iff& b = h^{-1}(B),
\end{eqnarray*}
nos permite entonces cambiar la integral del lado izquierdo por la del lado derecho. La diferencia de este caso con el anterior es que, mientras antes la variable introducida se escribía en función de la variable original (\(u = g(x)\)), aquí tenemos lo contrario, es decir, escribimos la variable original en función de la nueva variable de integración (\(x = h(\theta)\)).
En las preguntas a continuación, considere que \(f\) es una función continua:
(1) Haciendo la sustitución \(u = x^2 + 1\), podemos verificar que la integral
\[\int_0^1 2x f(x^2+1) \, dx\]
es igual a:
(2) Haciendo la sustitución \(x = \operatorname{sen}\, \theta, \theta \in [-\pi/2,\pi/2]\), podemos verificar que la integral
\[\int_0^{1/2} f(x) \, dx\]
es igual a: