Métodos de integración

(cod: P-71-62-1) Integración por partes: Se trata de una de las principales técnicas de integración, siendo una consecuencia de la regla del producto. De hecho, sean \(f\) y \(g\) dos funciones con derivada continua en un intervalo abierto \(I\). Por la Regla del Producto, tenemos que \[\dfrac{d}{dx} f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x),\] o, equivalentemente, \[\small{f(x)g'(x) = \dfrac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) - g(x)f'(x).} \ \ \ \ \ (1)\] Tomando la primitiva en ambos lados, obtenemos \[\small{\int f(x)g'(x)\, dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\, dx},\] donde omitimos la constante de integración al integrar el primer término del lado derecho, dado que esta constante será introducida al resolver la integral. La técnica consiste en intercambiar la integral del lado izquierdo por la expresión del lado derecho. Tomando \(u = f(x)\) y \(dv = g'(x)dx\) en la integral del lado izquierdo y considerando que \(du = f'(x)dx\) y \(v = g(x)\), podemos reescribir la fórmula anterior de manera más compacta: \[\int u \, dv = uv - \int v \, du.\] Al calcular una integral definida, en un intervalo \([a,b] \subset I\), podemos integrar ambos lados de la ecuación (1), obteniendo \begin{eqnarray*} & & \int_a^b f(x)g'(x)\, dx \\ & & \\ &=& f(x)g(x)\Big{]}_a^b + \int_a^b g(x)f'(x)\, dx. \end{eqnarray*} Considere las siguientes cuestiones:

(1) Suponga que queremos calcular la integral \[\int x e^x \, dx\] usando integración por partes y, para ello, tomamos \(u = x\) y \(dv = e^x dx\). ¿Cuál será nuestra conclusión?

(2) Suponga que queremos calcular la integral \[\int_1^e \ln{x} \, dx\] usando integración por partes y, para ello, elegimos \(u = \ln{x}\) y \(dv = dx\) (o, equivalentemente, \(dv/dx = 1\)). ¿Qué obtendremos?

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& xe^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& e^x(x-1) + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& 1 - (e-1) = 2-e. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& x- \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& x - e^x + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& 1 - (e-1) = 2-e. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& xe^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& e^x(x-1) + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& x \Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& e-1 - (e-1) = 0. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& xe^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& e^x(x-1) + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& x \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& e - (e-1) = 1. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& e^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& 0 + C = C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& x \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& e - (e-1) = 1. \end{eqnarray*}