Métodos de integración

(cod: P-74-59-2) Integración por Fracciones Parciales: Observe la suma a continuación \[\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3(x-2) + x}{x^2 - x} = \dfrac{4x - 6}{x^2 - x}.\] Si quisiéramos integrar la función racional \(g(x) = \dfrac{4x - 6}{x^2 - x}\), sería interesante trabajar desde el punto de vista inverso y considerarla como la suma de fracciones más simples que aparece a la izquierda de la primera igualdad.

Para ilustrar el proceso, tomemos la función racional \[f(x) = \dfrac{-2x+1}{x^2 - 3x + 2}.\] El denominador \(Q(x) = x^2 - 3x + 2\) tiene dos raíces reales distintas, a saber, \(x = 1\) y \(x = 2\). Tenemos entonces que \(Q(x)\) es reducible, es decir, puede ser factorizado como producto de dos polinomios de menor grado (en este caso, dos polinomios de grado \(1\)): \[Q(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2).\] Queremos entonces encontrar constantes \(A\) y \(B\) tales que \[\dfrac{- 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2}.\] Podemos multiplicar ambos lados por \(x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\), obteniendo \begin{equation}\label{igual}- 2x+ 1 = A(x-2) + B(x-1).\end{equation} Agrupando los términos del lado derecho por grado, obtenemos \[- 2x + 1 = (A+B)x + (-2A-B).\] Comparando los coeficientes de los polinomios de ambos lados, debemos tener \[\left\{\begin{array}{l} A+B = -2 \\ -2A-B = 1 \end{array}\right.\] Resolviendo el sistema, obtenemos que \(A = 1\) y \(B=-3\). En este ejemplo, podríamos haber procedido de otra manera para obtener las constantes \(A\) y \(B\). De hecho, como queremos que la igualdad en (\ref{igual}) sea válida para cualquier valor de \(x \in \mathbb{R}\), podemos sustituir algunos valores específicos y obtener fácilmente los valores de \(A\) y \(B\). Más precisamente, haciendo \(x = 1\) en (\ref{igual}), obtenemos directamente que \(A = 1\), mientras que tomando \(x=2\), concluimos que \(B = -3\). Por lo tanto, tenemos que \begin{eqnarray*} & & \int \dfrac{-2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \, dx \\ & & \\ &=& \int \left(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{3}{x-2} \right) \, dx \\ & & \\ &=& \ln|x-1| -3\ln|x-2| + C. \end{eqnarray*} Tal ejemplo ilustra el método de fracciones parciales. Se trata de un método para integrar funciones racionales que consiste en escribir una función de esta clase (que es una razón de polinomios) como la suma de fracciones más simples (llamadas fracciones parciales), las cuales podemos integrar. Pasamos entonces a describir el método de una manera más sistemática.

Decimos que una función racional es propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador. En caso contrario, decimos que la función racional es impropia. Siempre es posible escribir una función racional impropia \(h(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) como la suma de un polinomio y una función racional propia, aplicando el algoritmo de división. De hecho, si el cociente de la división de \(P(x)\) por \(Q(x)\) es \(A(x)\), con residuo \(R(x)\), tenemos \[P(x) = Q(x)A(x) + R(x),\] donde el grado de \(R(x)\) es menor que el grado de \(Q(x)\). Dividiendo la igualdad anterior por \(Q(x)\), obtenemos entonces que \[\dfrac{P(x)}{Q(x)} = A(x) + \dfrac{R(x)}{Q(x)},\] donde la razón que aparece en el lado derecho es una función racional propia.

Describiremos el método considerando funciones racionales propias, bastando realizar el procedimiento anterior si la función es impropia. Es posible demostrar que la estrategia de descomposición presentada a continuación siempre funciona, en el sentido de que siempre es posible determinar las constantes y, finalmente, integrar todas las fracciones parciales que surgen.

Consideremos a partir de ahora una función racional propia \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)},\) donde el numerador y el denominador son primos entre sí, es decir, no tienen factores comunes. La descomposición de \(f\) como una suma de fracciones parciales depende de la factorización de \(Q(x)\) en factores irreducibles. Tenemos el siguiente hecho:

Todo polinomio con coeficientes reales admite una factorización como producto de factores irreducibles de grado 1 o 2 (aunque, en la práctica, sea difícil exhibir tal factorización).

Pasamos a explicar brevemente el hecho anterior. El Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que \(Q(x)\) tiene \(n\) raíces (no necesariamente distintas), en el conjunto de los números complejos, algunas de las cuales pueden ser reales. Partiendo de las \(n\) raíces \(z_1, z_2, \dots,z_n\) de \(Q(x)\) en \(\mathbb{C}\), verificamos primeramente que \(Q(x)\) admite una descomposición (usando complejos) en la forma \begin{equation*}\label{dec1}Q(x) = c_n(x - z_1) (x-z_2)\cdots (x-z_n), \end{equation*} donde \(c_n \in \mathbb{R}\) es el coeficiente de mayor grado de \(Q(x)\) (observe que podemos considerar \(c_n = 1\) tras una manipulación algebraica simple en \(f(x)\)). Como \(Q(x)\) tiene coeficientes reales, es posible garantizar que, para cada raíz compleja no real \(z\) de \(Q(x)\), su conjugado \(\overline{z}\) también será una raíz, bastando para ello usar que \[Q(\overline{z}) = \overline{Q(z)} = \overline{0} = 0.\] Note, entonces, que el producto de los factores \((x - z)(x-\overline{z})\) da origen al polinomio cuadrático, \[x^2 - \underbrace{(z+\overline{z})}_{\in \mathbb{R}} x + \underbrace{z\overline{z}}_{\in \mathbb{R}},\] que tiene coeficientes reales y cuyas raíces son justamente \(z\) y \(\overline{z}\) (discriminante negativo). Así, partiendo de la descomposición anterior, podemos obtener la factorización mencionada, donde cada raíz real de \(Q(x)\) da origen a un factor de grado 1, mientras que raíces no reales surgen en pares (conjugados), dando origen a un factor cuadrático irreducible.

Agrupando los factores repetidos (raíces con multiplicidad mayor que 1), podemos considerar la factorización \[Q(x) = q_1(x)q_2(x) \cdots q_m(x),\] donde un bloque \(q_j(x)\) puede tener la forma \begin{equation}\label{bloco1}(x - r)^{l} \end{equation} o \begin{equation}\label{bloco2}(x^2 + bx + c)^{k}, \end{equation} siendo el primer caso asociado a una raíz real \(r\) de multiplicidad \(l\) y, el segundo, asociado a un par \(z\) y \(\overline{z}\) de raíces complejas conjugadas, cada una con multiplicidad \(k\).

A partir de estos bloques, establecemos la descomposición de la función racional propia \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) como suma de fracciones parciales. Para cada bloque de la forma (\ref{bloco1}) sumamos \(l\) fracciones parciales a la descomposición: \[\dfrac{A_1}{x-r} + \dfrac{A_2}{(x-r)^2} + \cdots + \dfrac{A_l}{(x-r)^l},\] donde \(A_1,A_2,\dots,A_l\) son constantes a determinar. Por otro lado, para cada bloque de la forma (\ref{bloco2}), sumamos \(k\) fracciones parciales a la descomposición: \[\scriptsize{\dfrac{B_1 x + C_1 }{x^2 + bx + c} + \dfrac{B_2 x + C_2 }{(x^2 + bx + c)^2} + \cdots + \dfrac{B_k x + C_k }{(x^2 + bx + c)^k},}\] donde \(B_j\) y \(C_j\), con \(j = 1,\dots,k\), son constantes a determinar. La descomposición en fracciones parciales está dada por la suma de todas las fracciones, considerando todos los bloques.

Para mayor claridad, considere un ejemplo en el cual el denominador se factoriza como \begin{eqnarray*}Q(x) &=& (x-1)(x-1)(x^2+4) \\ & & \\ &=& (x-1)^2 (x^2+4). \end{eqnarray*} El factor de grado \(1\) aparece dos veces (\(x = 1\) es raíz doble), mientras que \(x^2+4\) es un factor irreducible de grado 2 (cuyas raíces son \(z = 2i\) y \(\overline{z} = - 2i\)). La descomposición en fracciones parciales de \(f\) sería entonces \[\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{Cx+D}{x^2 + 4}.\] Multiplicando ambos lados por \(Q(x)\) y comparando los coeficientes de los lados izquierdo y derecho, podemos calcular las constantes \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\), para, a continuación, calcular la integral de \(f\).

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