Métodos de integración

(cod: P-76-83-8) La transformada de Laplace de una función \(f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}\) es la función dada por \[\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^{+\infty} e^{-st}f(t) \, dt,\] la cual está definida solo para los valores de \(s\) en los que tenemos de hecho una integral impropia convergente.

Por ejemplo, consideremos la función constante \(f(t) = 1, t \geq 0\). En este caso, para \(s>0\), tenemos: \begin{eqnarray*}\mathcal{L}\{f(t)\} &=& \int_0^{+ \infty} e^{-st} \, dt \\ &=& \lim\limits_{A \to + \infty} \int_0^A e^{-st} \, dt \\ &=& \lim\limits_{A \to + \infty} \left(\frac{1}{s} - \frac{e^{-sA}}{s}\right) \\ &=& \frac{1}{s}. \end{eqnarray*} Considere las siguientes cuestiones:

(1) Determine \(\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(at)\}\), donde \(a\) es una constante no nula.

(2) Sea \(f\) una función diferenciable, con derivada continua en \([0,+\infty)\). Suponga que la transformada de \(f\) está definida para \(s>0\) y que \[\lim\limits_{t \to + \infty} f(t)e^{-st} = 0,\] para todo \(s>0\). En este caso, es posible verificar que la transformada de Laplace de \(f'(t)\) también está definida para \(s>0\). Seleccione la opción que presenta una relación correcta entre las transformadas de \(f\) y \(f'\).