Métodos de integración
(cod: P-73-57-2)
Sustituciones trigonométricas: Integrales que involucran las expresiones radicales
\[ \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \text{ o } \sqrt{x^2-a^2},\]
donde \(a\) es un número positivo, pueden, muchas veces, transformarse en integrales más simples mediante una sustitución trigonométrica apropiada.
De hecho, considere las identidades trigonométricas a continuación:
\begin{eqnarray}
\label{rel1} 1 - \operatorname{sen}^2\, \theta &=& \cos^2{\theta},
\\ \nonumber & & \\ \label{rel2} 1 + \tan^2{\theta} &=& \sec^2{\theta},
\\ \nonumber & & \\\label{rel3} \sec^2{\theta} - 1 &=& \tan^2{\theta}.
\end{eqnarray}
Si la integral involucra el radical \(\sqrt{a^2 - x^2}\), puede ser conveniente usar la sustitución
\begin{eqnarray*}
x &=& a \, \operatorname{sen}\, \theta, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\
dx &=& a \cos{\theta} \, d\theta,
\end{eqnarray*}
Ya que, por la relación (\ref{rel1}), tendremos
\begin{eqnarray*}\sqrt{a^2 - x^2} &=& \sqrt{a^2(1 - \operatorname{sen}^2\, {\theta})}
\\ & & \\ &=& \sqrt{a^2 \cos^2{\theta}} = a \cos{\theta}.
\end{eqnarray*}
Por otro lado, si la integral involucra el radical \(\sqrt{a^2 + x^2}\), puede ser conveniente usar la sustitución
\begin{eqnarray*}
x &=& a \, \tan{\theta}, \, \, \theta \in (-\pi/2,\pi/2), \\
dx &=& a \sec^2{\theta} \, d\theta,
\end{eqnarray*}
Ya que, por la relación (\ref{rel2}), tendremos
\begin{eqnarray*}\sqrt{a^2 + x^2} &=& \sqrt{a^2(1 + \tan^2\, {\theta})}
\\ & & \\ &=& \sqrt{a^2 \sec^2{\theta}} = a \sec{\theta}.
\end{eqnarray*}
Finalmente, si la integral involucra el radical \(\sqrt{x^2 - a^2}\), puede ser conveniente usar la sustitución
\begin{eqnarray*}
x &=& a \, \sec{\theta}, \, \, \small{\theta \in (0,\pi/2) \text{ o } \theta \in (\pi,3\pi/2)}, \\
dx &=& \sec^2{\theta} \, d\theta,
\end{eqnarray*}
Ya que, por la relación (\ref{rel3}), tendremos
\begin{eqnarray*}\sqrt{x^2-a^2} &=& \sqrt{a^2(\sec^2{\theta} - 1)}
\\ & & \\ &=& \sqrt{a^2 \tan^2{\theta}} = a \tan{\theta}.
\end{eqnarray*}
Cabe observar que estas sustituciones pueden no garantizar que la integral se simplifique, dependiendo de la expresión completa del integrando. Por otro lado, observamos que estas sustituciones también pueden ser útiles en casos donde la raíz no aparece en la integral, es decir, no son exclusivas para los casos mencionados anteriormente, aunque se utilizan más en este contexto.
Utilizando un cambio trigonométrico adecuado, podemos garantizar que la integral
\[\int_{0}^{\frac{a\sqrt{2}}{2}} \dfrac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}}\, dx\]
donde \(a\) es un número positivo, es igual a: