Aplicaciones de la integral

(cod: P-77-57-8) El objetivo de este ejercicio es calcular el área \(A\) de la región limitada por la elipse de ecuación \[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,\] donde \(a\) y \(b\) son números positivos (nótese que cuando \(a = b\), la ecuación define un círculo de radio \(a\)).

Por simetría, podemos calcular el área de la región en el primer cuadrante y multiplicar por \(4\).

Seleccione la alternativa correcta:

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \, \operatorname{sen}{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 2 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [0,\pi], \\ & & \\ dx &=& - a \, \operatorname{sen}\, {\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \tan{\theta} \, \, \, \, \theta \in (-\pi/2,\pi/2), \\ & & \\ dx &=& a \sec^2 \theta \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \sec^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \operatorname{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \operatorname{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}