Derivadas

(cod: P-53-35-12) Considere a curva \(\mathcal{C}\) dada pela equação \[x^2 + 2xy + 3y^2 = 8.\] Tomamos um círculo \(C_r\) de raio \(r>0\) centrado na origem de modo a conter a curva \(\mathcal{C}\) em seu interior. Em seguida, vamos diminuindo \(r\) até que o círculo toque a curva \(\mathcal{C}\) em dois pontos \(P_1\) e \(P_2\), conforme a animação abaixo.

Nos pontos \(P_1\) e \(P_2\), o círculo e a curva \(\mathcal{C}\) se tangenciam, ou seja, em cada um desses pontos, a curva \(\mathcal{C}\) e o círculo que a toca possuem a mesma reta tangente. Observe que \(P_1\) e \(P_2\) são os pontos da curva \(\mathcal{C}\) mais distantes da origem. Denotemos por \(D_M\) a distância desses pontos à origem.

Tomamos agora um círculo de raio \(r>0\) centrado na origem e contido na região limitada pela curva \(\mathcal{C}\). Em seguida, vamos aumentando \(r\) até que o círculo toque a curva \(\mathcal{C}\) nos pontos \(P_3\) e \(P_4\), conforme a animação abaixo.

Nos pontos \(P_3\) e \(P_4\), o círculo e a curva se tangenciam. Note que \(P_3\) e \(P_4\) são os pontos da curva \(\mathcal{C}\) mais próximos da origem. Denotemos por \(D_m\) a distância desses pontos à origem.

Utilizando diferenciação implícita e os fatos observados acima, podemos verificar que os valores de \(D_M\) e \(D_m\) são, respectivamente:

\(\sqrt{4 \sqrt{2} + 2}\) e \(\sqrt{4 \sqrt{2} - 2}\).

\(\sqrt{8 + 4 \sqrt{2}}\) e \(\sqrt{8 - 4 \sqrt{2}}\).

\(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}\) e \(\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}\).

\(\sqrt{8 \sqrt{2} + 2}\) e \(\sqrt{8 \sqrt{2} - 2}\).

\(\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}}\) e \(\sqrt{8 - 2 \sqrt{2}}\).