Integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo
(cod: P-67-37-4) O objetivo deste exercício é obter a área da região \(\mathcal{R}\) limitada pela parábola \(y = x^2\) e pelas retas \(y = 0\) (eixo \(x\)) e \(x=1\),
utilizando um método de exaustão.
Fixado um número natural \(n\), dividimos o intervalo \([0,1]\) sobre o eixo \(x\) em \(n\) subintervalos iguais e, em seguida, subimos segmentos verticais de
modo a dividir a região \(\mathcal{R}\) em \(n\) faixas. A figura abaixo ilustra a situação para \(n = 5\).
Primeiramente, vamos aproximar a área de cada uma das \(n\) faixas pela área de um retângulo, cuja base está sobre o eixo \(x\) ( medindo \(1/n\))
e cuja altura é dada
pelo segmento vertical que coincide com o lado direito da respectiva faixa. A figura abaixo ilustra a situação quando \(n = 5\).
Podemos então aproximar a área de \(\mathcal{R}\) pela soma da área dos \(n\) retângulos, a qual denotamos por \(S_n\). Temos que
\[\small{\begin{eqnarray*} S_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n}{n}\right)^2
\\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \right).
\end{eqnarray*}}
\]
Uma outra possibilidade seria aproximar a área de cada faixa pela área de um retângulo de base \(\frac{1}{n}\) e altura dada pelo segmento vertical que coincide
com o lado esquerdo da faixa (note que o primeiro retângulo terá altura zero, logo sua área também será zero). A figura
exibe a situação quando \(n = 5\):
Podemos então aproximar a área de \(\mathcal{R}\) pela soma da área dos \(n\) retângulos, a qual denotamos por \(s_n\). Temos que
\[\small{\begin{eqnarray*} s_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{0}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2
\\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 \right).
\end{eqnarray*}}
\]
É possível verificar que as aproximações \(A(\mathcal{R}) \approx S_n\) e \(A(\mathcal{R}) \approx s_n\) melhoram quando aumentamos o valor de \(n\), como sugerem as
animações abaixo:
Primeiro, note que, para cada \(n \in \mathbb{N}\), temos
\[s_n \leq A(\mathcal{R}) \leq S_n.\]
Agora, utilizando as expressões de \(s_n\) e \(S_n\) descritas acima, verifique que \(s_n\) e \(S_n\) tendem para um mesmo
número real quando \(n\) tende para infinito. Definimos então \(A(\mathcal{R})\) como sendo igual a esse número. Selecione a opção correta:
