Integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo

(cod: P-67-38-6) O objetivo deste exercício é explorar o conceito de integrais definidas.

Considere uma função \(f\) definida em um intervalo \([a,b]\). Uma partição do intervalo \([a,b]\) é uma divisão de \([a,b]\) em subintervalos. Mais precisamente, uma partição é obtida a partir da escolha de pontos \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b},\] de modo a dividir o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos \[ [x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]. \] Em cada subintervalo da partição, escolhemos um ponto amostral. Para \( i \in \{1,2,\dots,n\}\), denotamos o \(i\)-ésimo ponto amostral por \[x_i^* \in [x_{i-1},x_i]\] e denotamos por \[\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\] o comprimento do \(i\)-ésimo subintervalo. Dadas essas escolhas, temos então uma soma de Riemman para \(f\) dada por \[\small{f(x_1^*)\Delta x_1 + f(x_2^*)\Delta x_2 + \cdots + f(x_n^*) \Delta x_n},\] ou ainda, utilizando a notação sigma, \[\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\] A figura abaixo ilustra a situação com \(n = 6\). Nela, as bases dos retângulos representam os subintervalos da partição (não exibimos os pontos \(x_1, x_2, \dots, x_n\) da partição, apenas os pontos amostrais).

No exemplo acima, cada uma das quatro primeiras parcelas da soma de Riemann representa a área de um retângulo azul, enquanto a última e a penúltima parcelas são negativas (pois \(f\) é negativa nos dois últimos pontos amostrais), sendo que o valor de cada uma dessas parcelas é obtida multiplicando a área de um retângulo rosa por \((-1)\).

Dizemos que \(f\) é integrável no intervalo \([a,b]\) se existe um número \(L\) tal que \[ \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i = L,\] onde esse limite significa que podemos tornar uma soma de Riemann tão próximo quanto quisermos de \(L\), independente das escolhas dos pontos amostrais, bastando para isso que o comprimento máximo dos subintervalos da partição seja suficientemente pequeno. Neste caso, dizemos que a integral definida de \(f\) de \(a\) até \(b\) é igual a \(L\). Utilizamos a notação \(\int_a^b f(x) \, dx\) para representar essa integral, de modo que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\]

Há um teorema importante que garante que se \(f\) é contínua em \([a,b]\), então \(f\) é integrável em \([a,b]\).

Sendo \(f\) uma função contínua em \([a,b]\) (portanto, integrável), podemos aproximar o valor da integral de \(f\) por somas de Riemann tomadas de modo sistemático. Para cada \(n \in \mathbb{N}\), tomemos uma partição regular de \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de mesmo comprimento \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\). Note que \(\Delta x \longrightarrow 0\) quando \(n \longrightarrow + \infty\). Assim, independente das escolhas dos pontos amostrais, temos que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] É claro que, fixada uma partição regular, existem inúmeras maneiras distintas de escolher pontos amostrais. Há algumas escolhas mais usuais, como, por exemplo, tomando como ponto amostral o ponto médio de cada subintervalo. Na animação abaixo, que ilustra o processo quando aumentamos \(n\), utilizamos como ponto amostral a extremidade direita de cada subintervalo. Para esta escolha, a soma de Riemann associada é chamada de soma de Riemann à direita.

Observamos que quando a função \(f\) é não negativa no intervalo \([a,b]\) (isto é, \(f(x) \geq 0\) para todo \(x \in [a,b]\)), a integral de \(f\) representa a área da região entre o eixo das abscissas e o gráfico de \(f\), com \(x\) entre \(a\) e \(b\). Entretanto, este não é o caso em geral. No exemplo de nossa ilustração, o valor da integral pode ser geometricamente interpretado como a diferença entre a área da região azul e a área da região rosa, conforme indicado abaixo.

Vamos nos ocupar agora de um exemplo específico. Considere a função \(f(x) = x^2 - 1\) e o intervalo \([-1,2]\). Para cada \(n\), considere a soma de Riemann à direita de \(f\) nesse intervalo. Temos que \[\Delta x = \dfrac{2 - (-1)}{n} = \dfrac{3}{n}\] e que o \(i\)-ésimo ponto amostral é dado por \[x_i^* = x_{i+1} = -1 + i\left(\dfrac{3}{n}\right).\] Assim, temos que \[f(x_i^*) = \left(-1 + \dfrac{3i}{n}\right)^2 - 1 = \dfrac{9i^2}{n^2} - \dfrac{6i}{n}.\] Portanto, \[f(x_i^*)\Delta x = 9 \left(\dfrac{3i^2}{n^3} - \dfrac{2i}{n^2} \right).\] Trabalhando algebricamente a expressão da soma de Riemann e, em seguinda, calculando o limite, podemos concluir que

\begin{eqnarray*} \int_{-1}^2 (x^2 - 1) \, dx &=& \lim\limits_{n \to + \infty} 9 \left(\dfrac{2n^2-1}{2n^2} \right) \\ & & \\ &=& 9. \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \int_{-1}^2 (x^2 - 1) \, dx &=& \lim\limits_{n \to + \infty} 3 \left(\dfrac{n^2-1}{2n^2} \right) \\ & & \\ &=& 0. \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \int_{-1}^2 (x^2 - 1) \, dx &=& \lim\limits_{n \to + \infty} 3 \left(\dfrac{n^2+1}{2n^2} \right) \\ & & \\ &=& 3/2. \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \int_{-1}^2 (x^2 - 1) \, dx &=& \lim\limits_{n \to + \infty} 9 \left(\dfrac{n+1}{2n^2} \right) \\ & & \\ &=& 0. \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \int_{-1}^2 (x^2 - 1) \, dx &=& \lim\limits_{n \to + \infty} 3 \left(\dfrac{2n^2-1}{2n^2} \right) \\ & & \\ &=& 3. \end{eqnarray*}