Integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo
(cod: P-68-41-9) O objetivo deste exercício é apresentar uma demonstração para a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): Seja \(f\) uma função contínua em um intervalo baerto \(I\) e seja \(a \in I\). A função
\[F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\]
é uma primitiva ou antiderivada de \(f\) em \(I\), ou seja,
\[\dfrac{d}{dx}F(x) = f(x).\]
Obs: Note que a variável da função \(F\) é o limite superior de integração. Dentro da integral, para que não haja confusão, utilizamos
outra letra para representar a variável (chamada variável muda). Aqui usamos \(t\), mas poderíamos ter usado qualquer outra.
Considere \(x \in I\) (na figura abaixo, tomamos \(x > a\), mas o argumento pode ser feito em qualquer caso) e tomemos \(h > 0\) de modo que
\(x+h\) ainda esteja em \(I\).
Temos que
\[F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) \, dt. \]
Por outro lado, existe \(c = c_h\) (que depende de \(h\)) entre \(x\) e \(x+h\) tal que
\[\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c_h)h. \]
No caso em que \(f\) é positiva, a informação significa, geometricamente,
que para um certo \(c_h\), a área da faixa marrom coincide com a área do retângulo de altura \(f(c_h)\) e base \(h\).
Portanto,
\begin{eqnarray*}& & \lim\limits_{h \to 0^+} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h}
\\ & & \\ &=& \lim\limits_{h \to 0^+} f(c_h) = f(x),
\end{eqnarray*}
uma vez que \(c_h \longrightarrow x\) quando \(h \to 0^+\) e \(f\) é contínua em \(x\).
Podemos utilizar o mesmo argumento para o outro limite lateral, o que nos permite então concluir
que
\[F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x),\]
como queríamos demonstrar.
Obs: A parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz que qualquer função contínua em um intervalo aberto possui uma primitiva. Além disso,
o teorema exibe uma expressão para tal primitiva por meio de uma integral.
Obs: Segundo o teorema, podemos escrever
\[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x).\]
Obs: Se \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) é contínua no intervalo compacto \([a,b]\) e \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\), o mesmo argumento
prova que \(F\) é diferenciável em \((a,b)\) (com \(F'(x) = f(x)\)) e possui derivada lateral à direita em \(a\) e à esquerda em \(b\), sendo portanto
contínua em \([a,b]\).
Temos então algumas questões?
(1) Por que vale a afirmação em marrom?
(2) Qual resultado garante a validade da frase em azul?
(3) Qual a derivada da função abaixo?
\[F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt\]