Integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo

(cod: P-68-40-3) Teorema Fundamental do Cálculo: Se \(f(x)\) é uma função contínua em um intervalo \([a,b]\) e \(F\) é uma primitiva ou antiderivada de \(f\), isto é, \[\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x),\] então \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).\]

O objetivo deste exercício é apresentar uma demonstração para o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Para cada natural \(n > 3\), considere a partição regular \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b}\] de \([a,b]\) em subintervalos de comprimento \(\Delta x = (b-a)/n\). Note que podemos escrever a variação de \(F\) em \([a,b]\) como a soma das variações de \(F\) nos subintervalos. De fato, temos que \begin{eqnarray*} & & F(b) - F(a) \\ & & \\ &=& F(x_n) - F(x_0) \\ & & \\ &=& \small{(F(x_n)- F(x_{n-1})) + (F(x_{n-1}) - F(x_{n-2}))} \\ & & \\ &+& \small{\cdots + (F(x_{2}) - F(x_{1})) + (F(x_1)-F(x_0))}. \end{eqnarray*} De fato, perceba que, na soma longa, podemos cancelar vários termos, obtendo apenas o primeiro e o último (soma telescópica). Assim, podemos concluir que \(\small{\begin{equation}\label{equa1}F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n F(x_i) - F(x_{i-1}).\end{equation}}\) Agora, para cada \(i \in \{1,2,\dots,n\}\), existe \(x_i^* \in (x_{i-1},x_i)\) tal que \[\dfrac{F(x_i) - F(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} = F'(x_i^*),\] ou, equivalentemente, \[\small{F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(x_i^*) \Delta x = f(x_i^*) \Delta x}.\] Logo, segue da equação \((\ref{equa1})\) que, para qualquer \(n > 3\), \[F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] Fazendo \(n \to + \infty\) (considerando sempre \(x_i^*\) conforme mencionado), concluimos que \[F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx,\] como queríamos demonstrar.

Temos duas quesões:

(1) Qual teorema clássico garante que a frase em marrom é verdadeira?

(2) Por que a frase em azul é verdadeira?

A frase em marrom decorre do Teorema do Valor Médio de Lagrange. Para justificar a frase em azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] é uma soma de Riemann (com partição regular) de \(f\). Sendo \(f\) contínua, ela é integrável em \([a,b]\), logo \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Mas, por outro lado, essas somas de Riemann são sempre menores do que \(F(b) - F(a)\) (qualquer que seja \(n\)).

A frase em marrom decorre do Teorema do Valor Médio de Lagrange. Para justificar a frase em azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] é uma soma de Riemann (com partição regular) de \(f\). Sendo \(f\) contínua, ela é integrável em \([a,b]\), logo \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Mas, por outro lado, todas essas somas de Riemann são iguais a \(F(b) - F(a)\) (qualquer que seja \(n\)).

A frase em marrom decorre do Teorema do Valor Intermediário. Para justificar a frase em azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] é uma soma de Riemann (com partição regular) de \(f\). Sendo \(f\) contínua, ela é integrável em \([a,b]\), logo \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Mas, por outro lado, essas somas de Riemann são sempre maiores do que \(F(b) - F(a)\) (qualquer que seja \(n\)).

A frase em marrom decorre do Teorema dos Valores Extremos. Para justificar a frase em azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] é uma soma de Riemann (com partição regular) de \(f\). Sendo \(f\) contínua, ela é integrável em \([a,b]\), logo \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Mas, por outro lado, todas essas somas de Riemann são iguais a \(F(b) - F(a)\) (qualquer que seja \(n\)).

A frase em marrom decorre da Regra da Cadeia. Para justificar a frase em azul, basta notar que \[\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x\] é uma soma de Riemann (com partição regular) de \(f\). Sendo \(f\) contínua, ela é integrável em \([a,b]\), logo \[\lim\limits_{n \to + \infty }\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \, dx.\] Mas, por outro lado, todas essas somas de Riemann são iguais a \(F(b) - F(a)\) (qualquer que seja \(n\)).