Métodos de Integração
(cod: P-70-51-3) Substituição em integrais definidas: Seja \(u = g(x)\) uma função com derivada contínua no intervalo \([a,b]\) e \(f\) uma função contínua num intervalo \(J \supset g([a,b])\). Temos que
\begin{equation*}\label{subst} \int_a^b f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du.
\end{equation*}
De fato, seja \(F(u)\) uma primitiva para a função \(f(u)\) no intervalo \(J\). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que
\[\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du = F(g(b)) - F(g(a)).\]
Por outro lado, pela Regra da Cadeia, temos que
\begin{eqnarray*}\dfrac{d}{dx}F(g(x)) &=& F'(g(x))g'(x) \\ & & \\ &=& f(g(x))g'(x).\end{eqnarray*}
Assim, novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que
\[\int_a^b f(g(x))g'(x) \, dx = F(g(b)) - F(g(a)),\]
o que prova a afirmação.
Muitas vezes, quando realizamos a substituição \(u = g(x)\) no contexto acima, queremos trocar a integral do lado esquerdo pela integral do lado direito na primeira equação. Em outros casos, partindo de uma integral
\[\int_A^B f(x) \, dx\]
optamos por fazer uma mudança de variável
\begin{eqnarray*}
x &=& h(\theta), \theta \in I, \\
dx &=& h'(\theta) \, d\theta,
\end{eqnarray*}
onde tomamos \(h\) injetiva (inversível) no intervalo \(I\), com \(A, B \in h(I)\) . Pelo mesmo argumento usado acima, obtemos então que
\[\int_A^B f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(h(\theta)) h'(\theta) \, d\theta,\]
onde
\begin{eqnarray*} A = h(a) &\iff& a = h^{-1}(A) \\
& & \\ B = h(b) &\iff& b = h^{-1}(B),
\end{eqnarray*}
nos permitindo então trocar a integral do lado esquerdo pela do lado direito. A diferença deste caso para o anterior é que, enquanto antes a variável introduzida era escrita em função da variável original (\(u = g(x)\)), aqui temos o contrário, ou seja, escrevemos a variável original em função da nova variável de integração (\(x = h(\theta)\)).
Nas questões abaixo, considere que \(f\) é uma função contínua:
(1) Fazendo a substituição \(u = x^2 + 1\), podemos verificar que a integral
\[\int_0^1 2x f(x^2+1) \, dx\]
é igual a:
(2) Fazendo a substituição \(x = \text{sen}\, \theta, \theta \in [-\pi/2,\pi/2]\), podemos verificar que a integral
\[\int_0^{1/2} f(x) \, dx\]
é igual a: