Métodos de Integração

(cod: P-71-62-1) Integração por partes: Trata-se de uma das principais técnicas de integração, sendo uma consequência da regra do produto. De fato, sejam \(f\) e \(g\) duas funções com derivada contínua em um intervalo aberto \(I\). Pela Regra do Produto, temos que \[\dfrac{d}{dx} f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x),\] ou, equivalentemente, \[\small{f(x)g'(x) = \dfrac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) - g(x)f'(x).} \ \ \ \ \ (1)\] Tomando a primitiva em ambos os lados, obtemos \[\small{\int f(x)g'(x)\, dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\, dx},\] onde omitimos a constante de integração quando integramos a primeira parcela do lado direito, dado que essa constante será introduzida ao resolver a integral. A técnica consiste em trocar a integral do lado esquerdo pela expressão do lado direito. Tomando \(u = f(x)\) e \(dv = g'(x)dx\) na integral do lado esquerdo e considerando que \(du = f'(x)dx\) e \(v = g(x)\), podemos reescrever a fórmula acima de modo mais compacto: \[\int u \, dv = uv - \int v \, du.\] Ao calcular uma integral definida, num intervalo \([a,b] \subset I\), podemos integrar ambos os lados da equação (1), obtendo \begin{eqnarray*} & & \int_a^b f(x)g'(x)\, dx \\ & & \\ &=& f(x)g(x)\Big{]}_a^b + \int_a^b g(x)f'(x)\, dx. \end{eqnarray*} Considere as questões abaixo:

(1) Suponha que queremos calcular a integral \[\int x e^x \, dx\] usando integração por partes e, para isso, fazemos \(u = x\) e \(dv = e^x dx\). Qual será nossa conclusão?

(2) Suponha que queiramos calcular a integral \[\int_1^e \ln{x} \, dx\] usando integração por partes e, para isso, escolhemos \(u = \ln{x}\) e \(dv = dx\) (ou, equivalentemente, \(dv/dx = 1\)). O que obteremos?

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& xe^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& e^x(x-1) + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& x \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& e - (e-1) = 1. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& x- \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& x - e^x + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& 1 - (e-1) = 2-e. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& e^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& 0 + C = C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& x \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& e - (e-1) = 1. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& xe^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& e^x(x-1) + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& \ln{x}\Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& 1 - (e-1) = 2-e. \end{eqnarray*}

(1) \begin{eqnarray*} \int x e^x \, dx &=& xe^x - \int e^x \, dx \\ & & \\ &=& e^x(x-1) + C. \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} \int_1^e \ln{x}\, dx &=& x \Big{]}_1^e - \int_1^e x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ & & \\ &=& e-1 - (e-1) = 0. \end{eqnarray*}