Métodos de Integração

(cod: P-74-59-2) Integração por Frações Parciais: Observe a soma abaixo \[\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3(x-2) + x}{x^2 - x} = \dfrac{4x - 6}{x^2 - x}.\] Se quiséssemos integrar a função racional \(g(x) = \dfrac{4x - 6}{x^2 - x}\), seria interessante trabalhar do ponto de vista inverso e considerá-la como a soma de frações mais simples que aparece à esquerda da primeira igualdade.

Para ilustrar o processo, tomemos a função racional \[f(x) = \dfrac{-2x+1}{x^2 - 3x + 2}.\] O denominador \(Q(x) = x^2 - 3x + 2\) possui duas raízes reais distintas, a saber, \(x = 1\) e \(x = 2\). Temos então que \(Q(x)\) é redutível, ou seja, pode ser fatorado como produto de dois polinômios de grau menor (no caso, dois polinômios de grau \(1\)): \[Q(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2).\] Gostaríamos então de encontrar constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\dfrac{- 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x-2}.\] Podemos multiplicar ambos os lados por \(x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\), obtendo \begin{equation}\label{igual}- 2x+ 1 = A(x-2) + B(x-1).\end{equation} Agrupando os termos do lado direito por grau, obtemos \[- 2x + 1 = (A+B)x + (-2A-B).\] Comparando os coeficientes dos polinômios dos dois lados, devemos ter \[\left\{\begin{array}{l} A+B = -2 \\ -2A-B = 1 \end{array}\right.\] Resolvendo o sistema, obtemos que \(A = 1\) e \(B=-3\). Neste exemplo, poderíamos ter procedido de outra maneira para obter as constantes \(A\) e \(B\). De fato, como queremos que a igualdade em (\ref{igual}) valha para qualquer valor de \(x \in \mathbb{R}\), podemos substituir alguns valores específicos e obter facilmente os valores de \(A\) e \(B\). Mais precisamente, fazendo \(x = 1\) em (\ref{igual}), obtemos diretamente que \(A = 1\), enquanto tomando \(x=2\), concluímos que \(B = -3\). Portanto, temos que \begin{eqnarray*} & & \int \dfrac{-2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \, dx \\ & & \\ &=& \int \left(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{3}{x-2} \right) \, dx \\ & & \\ &=& \ln|x-1| -3\ln|x-2| + C. \end{eqnarray*} Tal exemplo ilustra o método de frações parciais. Trata-se de um método para integrar funções racionais que consiste em escrever uma função dessa classe (que é uma razão de polinômios) como a soma de frações mais simples (chamadas frações parciais), as quais conseguimos integrar. Passamos então a descrever o método de uma maneira mais sistemática.

Dizemos que uma função racional é própria se o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Caso contrário, dizemos que a função racional é imprópria. Sempre é possível escrever uma função racional imprópria \(h(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) como a soma de um polinômio e uma função racional própria, aplicando o algoritmo de divisão. De fato, se o quociente da divisão de \(P(x)\) por \(Q(x)\) é \(A(x)\), com resto \(R(x)\), temos \[P(x) = Q(x)A(x) + R(x),\] onde o grau de \(R(x)\) é menor do que o grau de \(Q(x)\). Dividindo a igualdade acima por \(Q(x)\), obtemos então que \[\dfrac{P(x)}{Q(x)} = A(x) + \dfrac{R(x)}{Q(x)},\] onde a razão que aparece do lado direito é uma função racional própria.

Vamos descrever o método considerando funções racionais próprias, bastando fazer o procedimento acima, caso a função seja imprópria. É possivel demonstrar que a estratégia de decomposição apresentada abaixo sempre funciona, no sentido de que sempre é possível determinar as constantes e, por fim, integrar todas as frações parciais que surgem.

Consideremos a partir de agora uma função racional própria \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)},\) onde o numerador e o denominador são primos entre si, ou seja, não possuem fatores comuns. A decomposição de \(f\) como uma soma de frações parciais depende da fatoração de \(Q(x)\) em fatores irredutíveis. Temos o seguinte fato:

Todo polinômio com coeficientes reais admite uma fatoração como produto de fatores irredutíveis de grau 1 ou 2 (embora, na prática, seja difícil exibir tal fatoração).

Passamos a explicar brevemente o fato acima. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que \(Q(x)\) possui \(n\) raízes (não necessariamente distintas), no conjunto dos números complexos, algumas das quais podem ser reais. Partindo das \(n\) raízes \(z_1, z_2, \dots,z_n\) de \(Q(x)\) em \(\mathbb{C}\), verificamos primeiramente que \(Q(x)\) admite uma decomposição (usando complexos) na forma \begin{equation*}\label{dec1}Q(x) = c_n(x - z_1) (x-z_2)\cdots (x-z_n), \end{equation*} onde \(c_n \in \mathbb{R}\) é o coeficiente de maior grau de \(Q(x)\) (observe que podemos considerar \(c_n = 1\) após uma manipulação algébrica simples em \(f(x)\)). Como \(Q(x)\) possui coeficientes reais, é possível garantir que, para cada raiz complexa não real \(z\) de \(Q(x)\), seu conjugado \(\overline{z}\) também será uma raiz, bastando para isso usar que \[Q(\overline{z}) = \overline{Q(z)} = \overline{0} = 0.\] Note, então, que o produto dos fatores \((x - z)(x-\overline{z})\) dá origem ao polinômio quadrático, \[x^2 - \underbrace{(z+\overline{z})}_{\in \mathbb{R}} x + \underbrace{z\overline{z}}_{\in \mathbb{R}},\] que tem coeficientes reais e cujas raízes são justamente \(z\) e \(\overline{z}\) (discriminante negativo). Assim, partindo da decomposição acima, podemos obter a fatoração mencionada, onde cada raiz real de \(Q(x)\) dá origem a um fator de grau 1, enquanto raízes não reais surgem em pares (conjugados), dando origem a um fator quadrático irredutível.

Agrupando os fatores repetidos (raízes com multiplicidade maior do que 1), podemos considerar a fatoração \[Q(x) = q_1(x)q_2(x) \cdots q_m(x),\] onde um bloco \(q_j(x)\) pode ter a forma \begin{equation}\label{bloco1}(x - r)^{l} \end{equation} ou \begin{equation}\label{bloco2}(x^2 + bx + c)^{k}, \end{equation} sendo o primeiro caso associado a uma raiz real \(r\) de multiplicidade \(l\) e, o segundo, associado a um par \(z\) e \(\overline{z}\) de raízes complexas conjugadas, cada uma com multiplicidade \(k\).

A partir desses blocos, estabelecemos a decomposição da função racional própria \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) como soma de frações parciais. Para cada bloco da forma (\ref{bloco1}) somamos \(l\) frações parciais à decomposição: \[\dfrac{A_1}{x-r} + \dfrac{A_2}{(x-r)^2} + \cdots + \dfrac{A_l}{(x-r)^l},\] onde \(A_1,A_2,\dots,A_l\) são constantes a determinar. Por outro lado, para cada bloco da forma (\ref{bloco2}), somamos \(k\) frações parciais à decomposição: \[\scriptsize{\dfrac{B_1 x + C_1 }{x^2 + bx + c} + \dfrac{B_2 x + C_2 }{(x^2 + bx + c)^2} + \cdots + \dfrac{B_k x + C_k }{(x^2 + bx + c)^k},}\] onde \(B_j\) e \(C_j\), com \(j = 1,\dots,k\), são constantes a determinar. A decomposição em frações parciais é dada pela soma de todas as frações, considerando todos os blocos.

Para ficar mais claro, considere um exemplo no qual o denominador se fatore como \begin{eqnarray*}Q(x) &=& (x-1)(x-1)(x^2+4) \\ & & \\ &=& (x-1)^2 (x^2+4). \end{eqnarray*} O fator de grau \(1\) aparece duas vezes (\(x = 1\) é raiz dupla), enquanto \(x^2+4\) é um fator irredutível de grau 2 (cujas raízes são \(z = 2i\) e \(\overline{z} = - 2i\)). A decomposição em frações parciais de \(f\) seria então \[\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{Cx+D}{x^2 + 4}.\] Multiplicando ambos os lados por \(Q(x)\) e comparando os coeficientes lados esquerdo e direito, podemos caluclar as constantes \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), para, em seguida, calcular a integral de \(f\).

Selecione a opção que não segue as instruções contidas acima.

Considere a função racional própria \[f(x) = \dfrac{3x^2 + 2x - 3}{x^3 - x}.\] Peloo método descrito acima, sua decomposição em frações parciais é dada por: \[\dfrac{3x^2 + 2x - 3}{x^3 - x} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{C}{x+1} \] Considere a função racional própria \[f(x) = \dfrac{3x^2 - x + 2}{x^3 + x}.\] Podemos fatorar o denominador, obtendo \[x^3 + x = x(x^2+1),\] observando que o fator \((x^2 + 1)\) é irredutível. Seguindo o método descrito acima, devemos decompor \(f(x)\) da forma \[\dfrac{3x^2 - x + 2}{x^3 + x} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}.\] A função racional \[h(x) = \dfrac{2x^3 - 2x^2 + 1}{x^2 - x}\] é imprópria. Após realizar o algoritmo da divisão, podemos escrevê-la na forma \[h(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2 - x},\] onde a razão que aparece do lado direito é uma função racional própria. Conforme explicado acima, a decomposição em frações parciais da função racional própria \(f(x) = \dfrac{1}{x(x^2+4)^2}\) é dada por \[\dfrac{1}{x(x^2+4)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2+4} + \dfrac{Dx + E}{(x^2+4)^2} \] Considere a função racional própria \(f(x) = \dfrac{1}{x(x^2-x)}\). A decomposição em frações parciais de \(f\) é dada por \[\dfrac{1}{x(x^2-x)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{x^2 - x}.\]