Métodos de Integração

(cod: P-76-83-8) A transformada de Laplace de uma função \(f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}\) é a função dada por \[\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^{+\infty} e^{-st}f(t) \, dt,\] a qual está definida apenas para os valores de \(s\) em que temos de fato uma integral imprópria convergente.

Por exemplo, vamos considerar a função constante \(f(t) = 1, t \geq 0\). Neste caso, para \(s>0\), temos: \begin{eqnarray*}\mathcal{L}\{f(t)\} &=& \int_0^{+ \infty} e^{-st} \, dt \\ &=& \lim\limits_{A \to + \infty} \int_0^A e^{-st} \, dt \\ &=& \lim\limits_{A \to + \infty} \left(\frac{1}{s} - \frac{e^{-sA}}{s}\right) \\ &=& \frac{1}{s}. \end{eqnarray*} Considere as seguintes questões:

(1) Determine \(\mathcal{L}\{\text{sen}(at)\}\), onde \(a\) é uma constante não-nula.

(2) Seja \(f\) uma função diferenciável, com derivada contínua em \([0,+\infty)\). Suponha que a transformada de \(f\) esteja definida para \(s>0\) e que \[\lim\limits_{t \to + \infty} f(t)e^{-st} = 0,\] para todo \(s>0\). Neste caso, é possível verificar que a transformada de Laplace de \(f'(t)\) também está definida para \(s>0\). Selecione a opção que apresenta uma relação correta entre as transformadas de \(f\) e \(f'\).