Métodos de Integração
(cod: P-73-57-2) Substituições trigonométricas: Integrais que envolvem as expressões radicais
\[ \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \text{ ou } \sqrt{x^2-a^2},\]
onde \(a\) é um número postivo, podem, muitas vezes, serem transformadas em integrais mais simples por meio de uma substituição trigonométrica apropriada.
Com efeito, considere as identidades trigonométricas abaixo:
\begin{eqnarray}
\label{rel1} 1 - \text{sen}^2\, \theta &=& \cos^2{\theta},
\\ \nonumber & & \\ \label{rel2} 1 + \tan^2{\theta} &=& \sec^2{\theta},
\\ \nonumber & & \\\label{rel3} \sec^2{\theta} - 1 &=& \tan^2{\theta}.
\end{eqnarray}
Se a integral envolver o radical \(\sqrt{a^2 - x^2}\), pode ser conveniente usar a substituição
\begin{eqnarray*}
x &=& a \, \text{sen}\, \theta, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\
dx &=& a \cos{\theta} \, d\theta,
\end{eqnarray*}
Uma vez que, pela relação (\ref{rel1}), teremos
\begin{eqnarray*}\sqrt{a^2 - x^2} &=& \sqrt{a^2(1 - \text{sen}^2\, {\theta})}
\\ & & \\ &=& \sqrt{a^2 \cos^2{\theta}} = a \cos{\theta}.
\end{eqnarray*}
Por outro lado, se a integral envolver o radical \(\sqrt{a^2 + x^2}\), pode ser conveniente usar a substituição
\begin{eqnarray*}
x &=& a \, \tan{\theta}, \, \, \theta \in (-\pi/2,\pi/2), \\
dx &=& a \sec^2{\theta} \, d\theta,
\end{eqnarray*}
Uma vez que, pela relação (\ref{rel2}), teremos
\begin{eqnarray*}\sqrt{a^2 + x^2} &=& \sqrt{a^2(1 + \tan^2\, {\theta})}
\\ & & \\ &=& \sqrt{a^2 \sec^2{\theta}} = a \sec{\theta}.
\end{eqnarray*}
Por fim, caso a integral envolva o radical \(\sqrt{x^2 - a^2}\), pode ser conveniente usar a substituição
\begin{eqnarray*}
x &=& a \, \sec{\theta}, \, \, \small{\theta \in (0,\pi/2) \text{ ou } \theta \in (\pi,3\pi/2)}, \\
dx &=& \sec^2{\theta} \, d\theta,
\end{eqnarray*}
Uma vez que, pela relação (\ref{rel3}), teremos
\begin{eqnarray*}\sqrt{x^2-a^2} &=& \sqrt{a^2(\sec^2{\theta} - 1)}
\\ & & \\ &=& \sqrt{a^2 \tan^2{\theta}} = a \tan{\theta}.
\end{eqnarray*}
Vale observar que essas substituições podem não garantir que a integral fique simples, dependendo da expressão completa do integrando. Por outro lado, observamos que essas substituições também podem ser úteis em casos em que a raiz não aparece na integral, ou seja, elas não são exclusivas para os casos abordados acima, embora sejam mais usadas nesse contexto.
Utilizando uma mudança trigonométrica adequada, podemos garantir que a integral
\[\int_{0}^{\frac{a\sqrt{2}}{2}} \dfrac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}}\, dx\]
onde \(a\) é um número positivo, é igual a: