Aplicações de Integral

(cod: P-77-50-5) Agulhas de Buffon: Considere um assoalho feito de tábuas de \(L\) centímetros de largura. Ao lançarmos uma agula de comprimento \(l < L\) sobre o assoalho, qual a probablidade de que a agulha cruze uma junção?

Denotemos por \(D\) a distância do centro da agulha para a linha (junção) mais próxima. Agora, considere a reta normal passando pelo centro da agulha e denotemos por \(\theta\) o menor ângulo formado entre a agulha e essa normal. A figura abaixo ilustra a situação para dois lançamentos distintos.

A partir de um lançamento, podemos então observar \(\theta\) e \(D\), onde necessariamente teremos \[0 \leq \theta \leq \pi/2 \ \ \ \text{ e } \ \ \ 0 \leq D \leq L/2.\] Ou seja, o resultado de um lançamento pode ser visto como uma escolha aleatória de um ponto \((\theta,D)\) no retângulo abaixo.

Admita que a probabilidade se distribui uniformemente neste retangulo, ou seja, que a probabilidade \(P_W\) do ponto obtido após um lançamento estar em uma dada região \(W\) desse retângulo é proporcional à área de \(W\). Ou ainda, \[P_W = \dfrac{\text{Área de }W}{\left(\pi L/4\right)},\] onde o denominador é área do retângulo. Agora note que a agulha cruzará uma linha exatamente quando \[D \leq \dfrac{l}{2}\cos(\theta),\] conforme indicado na figura abaixo.

Portanto, a agulha cruzará uma linha exatamente quando o par \((\theta,D)\) estiver na região rosa indicada na figura abaixo.

Podemos então concluir que a probabilidade da agulha cruzar uma linha após um lançamento é igual a: