Aplicações de Integral

(cod: P-77-57-8) O objetivo deste exercício é calcula a área \(A\) da região limitada pela elipse de equação \[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,\] onde \(a\) é \(b\) são números positivos (observe que quando \(a = b\), a equação define um círculo de raio \(a\)).

Por simetria, podemos calcular a área da região no primeiro quadrante e multiplicar por \(4\).

Selecione a alternativa correta:

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \tan{\theta} \, \, \, \, \theta \in (-\pi/2,\pi/2), \\ & & \\ dx &=& a \sec^2 \theta \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \sec^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \, \text{sen}{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 2 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \text{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [0,\pi], \\ & & \\ dx &=& - a \, \text{sen}\, {\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \text{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \text{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \text{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}