Aplicações de Integral

(cod: P-79-49-12) Considere um cabo flexível e homogêneo suspenso por suas extremidades, presas em postes, ambas em uma mesma altura. O cabo assume então o formato de uma curva, conhecida como catenária (vale a pena estudar a história deste problema).

O objetivo deste exercício é descrever uma expressão para tal curva e estudar suas propriedades.

Suponha que a altura dos postes seja \(h\) e a distância entre os postes seja de \(2b\). Vamos posicionar o eixo \(x\) na altura do solo e o eixo \(y\) conforme a figura, admitindo que a curva é o gráfico de uma função diferenciável \(y = f(x)\) que é par (simétrica com relação ao eixo \(y\)).

Denotemos por \(P\) o ponto mais baixo da curva, conforme a figura abaixo, e seja \(Q = (x,f(x))\) um ponto qualquer da curva, com \(x>0\). Vamos descrever as forças atuando no trecho da curva entre os pontos \(P\) e \(Q\).

A força de tensão na corda é tangente à curva e podemos decompô-la em componentes horizontal e vertical (note que tal força é horizontal no ponto \(P\)). Denotemos por \(T(x)\) o módulo da força de tensão em \(Q\). Se \(\theta = \theta(x)\) é o ângulo descrito na figura, então, como não há movimento, devemos ter \begin{equation}\label{comp1}T_0 = T(x) \cos(\theta(x)). \end{equation} Observe, em particular, que a magnitude da componente horizontal da tensão, dada por \(T(x) cos(\theta(x))\) é igual em qualquer ponto (não depende de \(x\)).

Do ponto de vista vertical, temos que \[p(x) = T(x) \text{sen}(\theta(x)),\] onde \(p(x)\) é o peso do cabo entre \(P\) e \(Q\). Sendo o cabo homogêneo, denotemos por \(\rho\) o peso do cabo por unidade de comprimento e por \(L(x)\) o comprimento do trecho da curva entre \(P\) e \(Q\). Temos então que \[p(x) = \rho L(x),\] ou seja, \begin{equation}\label{comp2}\rho L(x) = T(x) \text{sen}(\theta(x)). \end{equation} Por (\ref{comp1}) e (\ref{comp2}), concluímos que \[f'(x) = \tan(\theta(x)) = \dfrac{\rho L(x)}{T_0}.\] Considerando a constante \[a = \dfrac{\rho}{T_0},\] temos que \[f'(x) = a L(x),\] onde o comprimento \(L(x)\) é dado por \[L(x) = \int_0^x \sqrt{1 + (f'(t))^2} \, dt.\] Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, \(L'(x) = \sqrt{1 + (f'(x))^2}\), logo \begin{eqnarray*} & & f''(x) = a \sqrt{1 + (f'(x))^2} \\ & & \\ &\iff& \dfrac{f''(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} = a. \end{eqnarray*} Queremos então obter uma função \(f(x)\) que satisfaça a equação acima (tal equação é dita uma equação diferencial de segunda ordem). Escrevendo \(v(x) = f'(x)\), a equação diferencial acima pode ser escrita de modo mais simples (tornando-se uma equação de primeira ordem): \[\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1 + (v(x))^2}} = a.\] Tal equação pode ser resolvida integrando-se ambos os lados. Na integral que surge do lado esquerdo, podemos fazer a substituição \(u = v(x)\), obtendo \[\int\dfrac{1}{{\sqrt{1 + u^2}}} \, du,\] onde observamos que o integrando é a derivada da inversa do seno hiperbólico. Portanto, obtemos \begin{eqnarray*} & & \text{arsenh}\, (v(x)) = ax + B \\ & & \\ &\iff& v(x) = \text{senh}\, (ax+B) \\ & & \\ &\iff& f'(x) = \text{senh}\, (ax+B). \end{eqnarray*} Considere as seguintes questões:

(i) Use \(f'(0)\) para definir o valor da constante \(B\). Em seguida, integre novamente para obter a expressão de \(f(x)\). Ao fazer isso, surgirá uma nova constante de integração. Utilize o valor de \(f(b)\) para determinar essa constante e definir a expressão de \(f(x)\).

(ii) Determine o comprimento dessa catenária. Sabendo que a função é par, o comprimento da catenária será o dobro do comprimento do trecho no primeiro quadrante (trecho com \(x\) positivo).

(iii) A expressão da catenária depende do parâmetro \(a\). Para deixar isso claro, denotemos a catenária por \(y = f_a(x)\) e o seu comprimento por \(\mathcal{L}_a\). Determine quanto valem os limites \[\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) \, \, \, \text{ e } \, \, \, \lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a.\]