Limites e continuidade

\(y = \dfrac{1}{3}x \)

\(y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{3}\)

\(y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}\)

\(y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}\)

\(\displaystyle y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\)

Para cada \(n>1\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1/n\), ou seja, o ponto \(Q\) tenderá ao ponto \((0,1/n)\).

Se \(n=2\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 0\), ou seja, o ponto \(Q\) tenderá ao ponto \((0,0)\). Por outro lado, se \(n >2\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), ou seja, o ponto \(Q\) subirá indefinidamente.

Se \(n=2\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1\), ou seja, o ponto \(Q\) tenderá ao ponto \((0,1)\). Por outro lado, se \(n >2\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), ou seja, o ponto \(Q\) subirá indefinidamente.

Qualquer que seja \(n>1\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), ou seja, o ponto \(Q\) subirá indefinidamente.

Se \(n=2\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1/2\), ou seja, o ponto \(Q\) tenderá ao ponto \((0,1/2)\). Por outro lado, se \(n >2\), temos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), ou seja, o ponto \(Q\) subirá indefinidamente.

Temos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 4\), ou seja, o ponto \(P\) tenderá ao ponto \((4,0)\) quando \(r\) tender a zero.

Temos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 8\), ou seja, o ponto \(P\) tenderá ao ponto \((8,0)\) quando \(r\) tender a zero.

Temos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = + \infty\), ou seja, o ponto \(P\) se moverá indefinidamente para a direita quando \(r\) tender a zero.

Temos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 2\), ou seja, o ponto \(P\) tenderá ao ponto \((2,0)\) quando \(r\) tender a zero.

Temos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 0\), ou seja, o ponto \(P\) tenderá ao ponto \((0,0)\) quando \(r\) tender a zero.

A única assíntota vertical de \(f\) é a reta \(x = 0\), enquanto \(f\) não possui assíntotas hotizontais.

Temos que \(f\) não possui assíntotas horizontais, nem assíntotas verticais.

Temos que \(f\) não possui assíntotas verticais e possui uma única assíntota horizontal, que é a reta \(y=1\).

A única assíntota vertical de \(f\) é a reta \(x = 0\) e a única assíntota horizontal é a reta \(y = 0\).

Temos que \(f\) não possui assíntotas verticais e possui uma única assíntota horizontal, que é a reta \(y=0\).

\(a = - 16 \ \ \ \) e \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

\(a = - 16 \ \ \ \) e \( \ \ \ b = \dfrac{1}{8}.\)

\(a = 16 \ \ \ \) e \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

\(a = - 8 \ \ \ \) e \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

\(a = 8 \ \ \ \) e \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

Suponha que \(n\) é ímpar. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = \infty\) e \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to +\infty} p(x) = +\infty\). De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui ao menos uma raiz real.

Suponha que \(n\) é ímpar. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = +\infty\) e \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui ao menos uma raiz real.

Suponha que \(n\) é par. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau par com coeficientes reais possui ao menos uma raiz real.

Suponha que \(n\) é par. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau par com coeficientes reais possui ao menos uma raiz

Suponha que \(n\) é ímpar. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty.\) Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Portanto, não é possível afirmar que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui uma raiz real.