Derivadas

(cod: P-49-43-6) Dizemos que uma função \(f\) é diferenciável ou derivável em um número \(x_0\) do seu domínio se existe \begin{equation}\label{eq1} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\end{equation} e, neste caso, a derivada de \(f\) em \(x_0\), denotada por \(f'(x_0)\), é dada pelo valor desse limite, ou seja,

\[f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.\] Para um valor de \(h\) fixado, a razão \[\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \] que aparece no limite (\ref{eq1}), pode ser interpretada como a inclinação (declive, ou coeficiente angular) da reta secante que passa pelos pontos \(P = (x_0+h,f(x_0+h))\) e \(P_0 = (x_0,f(x_0))\). Se \(f\) é diferenciável em \(x_0\), a reta que passa por \(P_0 = (x_0,f(x_0))\) e possui inclinação \(f'(x_0)\) é denominada reta tangente ao gráfico \(y = f(x)\) em \(P_0\). Na animação abaixo, a reta tangente em \(P_0\) aparece em lilás, em um caso em que \(x_0 = 1\).

Observamos que o limite em (\ref{eq1}) é equivalente ao limite \begin{equation}\label{eq3} \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},\end{equation} ou seja, se um deles existe, então o outro também existe e possui o mesmo valor.

Dada uma função \(f: U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), podemos considerar a derivada de \(f\) como sendo a função \[f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h},\] definida no conjunto \[ \{x \in U: \ f \text{ é diferenciável em } x\}.\] Dada uma função \(y = f(x)\), podemos utilizar uma outra forma de denotar sua derivada, conhecida como notação de Leibniz (observe que nesta notação, utilizamos \(\Delta x\) no lugar de \(h\)): \[\dfrac{dy}{dx} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\overbrace{f(x+\Delta x) - f(x)}^{\Delta y}}{\Delta x}.\] Na verdade, temos várias formas de denotar a derivada de uma função \(y = f(x)\). Apresentamos algumas abaixo: \[f'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx} \left(f(x)\right) = Df(x).\] A notação de Leibniz enfatiza o caráter da derivada como uma taxa de variação. Se \(y = f(x)\), note que \[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\] representa uma taxa média de variação de \(y\) com relação a \(x\). A derivada surge quando fazemos \(\Delta x\) tender a zero. Consideremos um exemplo mais específico. Suponha que um objeto realiza um movimento retilíneo, de modo que sua posição pode ser descrita a partir de uma função \(s = s(t)\) e representada graficamente como um ponto sobre um eixo. Note que \[\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}\] representa a velocidade média no intervalo de tempo entre os instantes \(t\) e \(t + \Delta t\). Neste caso, a derivada da função posição representa a velocidade instantânea do objeto no instante \(t\): \[\small{v(t) = \dfrac{ds}{dt} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}.}\]

Vimos que, ao derivarmos uma função, obtemos uma nova função, que é sua derivada. Podemos então derivar essa nova função, obtendo a segunda derivada ou derivada segunda ou derivada de segunda ordem. A derivada segunda de uma função \(y = f(x)\) é denotada por \[f''(x) \ \ \text{ ou } \ \ \dfrac{d^2 y}{dx^2} \ \ \text{ ou } \ \ f^{(2)}(x).\] Procedendo indutivamente, se \(k\) é um número natural, podemos considerar aa \(k\)-ésima derivada ou derivada de ordem \(k\) de \(y = f(x)\), a qual denotamos por \[f^{(k)}(x) \ \ \text { ou } \ \ \dfrac{d^k y }{dx^k}.\] Se \(s = s(t)\) descreve a posição de um objeto em movimento retilíneo, então a derivada segunda \(s''(t)\) representa a aceleração instantânea do objeto no instante \(t\).

Considere as seguintes questões:

(1) Se \(f\) é uma função diferenciável em um número \(x_0\) do seu domínio, então \(f\) é necessariamente contínua em \(x_0\)? Reciprocamente, se uma função \(f\) é contínua em um número \(x_0\) do seu domínio, então \(f\) é necessariamente diferenciável em \(x_0\)?

(2) Se \(n\) é um número natural, determine a reta tangente ao gráfico da função \(f(x) = x^n\) no ponto \(P_0 = (1,1)\).

(3) Um projétil é lançado verticalmente para cima. Sua altura, em pés, passados \(t\) segundos, é dada por \(s = s(t) = 144t - 16t^2, \ t \in [0,9]\). Determine a velocidade \(v(t)\) do projétil (em pés por segundo) e a aceleração \(a(t)\) do projétil (em pés por segundo ao quadrado).

Selecione a alternativa correta:

(1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são contínuas em um número \(x_0\), mas não são diferenciáveis em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 16t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -16. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são contínuas em um número \(x_0\), mas não são diferenciáveis em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Reciprocamente, se uma função é contínua em um número \(x_0\),então \(f\) é diferenciável em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) - 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32t. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são contínuas em um número \(x_0\), mas não são diferenciáveis em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) - 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32t. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é contínua em \(x_0\), então necessariamente ela é diferenciável em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são diferenciáveis em um número \(x_0\), mas não são contínuas em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 16t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -16. \end{eqnarray*}

(cod: P-49-28-5) Abaixo são feitas afirmações envolvendo a derivada de diversas funções:

(1) Se \(c \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(c\right) = 0.\)

(2) Se \(c \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(cx\right) = cx\)

(3) Se \(n \in \mathbb{N}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(x^n \right) = nx^{n-1}\)

(4) \(\dfrac{d}{dx}\left(x^{1/2}\right) = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

(5) Se \(n \in \mathbb{N}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(x^{-n} \right) = nx^{-n-1}\)

(6) \(\dfrac{d}{dx}\left(\text{sen}(x) \right)= \cos(x) \)

(7) \(\dfrac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)= \text{sen}(x)\)

(8) \(\dfrac{d}{dx}\left(\tan(x)\right) = \sec^2(x)\)

(9) \(\dfrac{d}{dx}\left(\sec(x)\right) = \tan^2(x)\)

(10) \(\dfrac{d}{dx}\left(b^x \right) = b^x \ln(b)\)

(11) Se \(0 < b \ne 1\), \(\dfrac{d}{dx}\left(\log_b(x)\right) = \dfrac{1}{x}\)

(12) \(\dfrac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x\)

(13) \(\dfrac{d}{dx}\left(\ln(x)\right) = \dfrac{1}{x}\)

(14) \(\dfrac{d}{dx}\left(3^x\right) = x 3^{x-1}\)

Podemos afirmar que:

Dentre essas, as únicas afirmações que são falsas são as de número (2), (10) e (11).

Dentre essas, as únicas afirmações que são falsas são as de número (2), (5), (8), (9) e (14).

Dentre essas, as únicas afirmações que são falsas são as de número (2), (5), (7), (9), (11) e (14).

Dentre essas, as únicas afirmações que são falsas são as de número (2), (4), (7) e (14).

Dentre essas, as únicas afirmações que são falsas são as de número (4), (8), (10) e (11).

(cod: P-52-29-11) Considere as seguintes questões:

(1) \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\right)\) é igual a:

(2) \(\dfrac{d}{dx}\left(e^{-2x}\cos(3x)\right)\) é igual a:

(3) Sejam \(F\), \(G\) e \(H\) funções diferenciáveis tais que: \begin{eqnarray*} F(0) &=& 2, \ \ \ \ \ \ \ F'(0) &=& 3, \\ G(0) &=& 1, \ \ \ \ \ \ \ G'(0) &=& -1, \\ G(1) &=& -1, \ \ G'(1) &=& 1, \\ H(0) &=& 1, \ \ \ \ \ \ \ H'(0) &=& 2. \end{eqnarray*} Se \(f(x) = F(x)G(H(x))\), determine \(f'(0)\).

(4) Seja \(f : I \to J\) uma bijeção diferenciável entre intervalos abertos \(I\) e \(J\) tal que \[f(1) = 0 \ \ \ \text{e} \ \ \ f'(1) = \dfrac{1}{2}.\] Denotemos por \(f^{-1}:J \to I\) a inversa de \(f\) e considere a função \(g(t) = (t^2 + t + 3)f^{-1}(t)\). Determine o valor de \(g'(0)\).

Selecione a alternativa que responde corretamente às quatro questões acima.

\begin{eqnarray*} &(1)& 2 \\ & & \\ &(2)& - e^{-2x}\left(2\cos(3x) + 3 \, \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = -1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 6 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& - \dfrac{36x}{(x^2 - 9)^2} \\ & & \\ &(2)& e^{-2x}\left(\cos(3x) + \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = -1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 6 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& - \dfrac{36x}{(x^2 - 9)^2} \\ & & \\ &(2)& e^{-2x}\left(\cos(3x) + \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = -1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 7 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& - \dfrac{36x}{(x^2 - 9)^2} \\ & & \\ &(2)& - e^{-2x}\left(2\cos(3x) + 3 \, \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = 1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 7 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& 2 \\ & & \\ &(2)& e^{-2x}\left(\cos(3x) + \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = 1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 7 \end{eqnarray*}

(cod: P-52-32-5) Considere as seguintes afirmações:

(1) Se \(f(x) = x^r\), para \(x > 0\), onde \(r\) é um número real qualquer, então \(f'(x) = r x^{r-1}\).

(2) \(\dfrac{d}{dx}\ln(|x|) = \dfrac{1}{x}.\)

(3) \(\dfrac{d}{dx} \text{senh}\, x = \cosh{x}.\)

(4) \(\dfrac{d}{dx} \cosh{x} = - \text{senh}\, {x}.\)

(5) \(\dfrac{d}{dx} \tanh{x} = \text{sech}^2\, {x}.\)

(6) \(\dfrac{d}{dx} \text{sech}\, {x} = \text{sech}\, {x} \tanh{x}.\)

A respeito dessas afirmações, temos que:

A única que é falsa é a afirmação (2).

As únicas que são falsas são as afirmações (2) e (4).

As únicas que são falsas são as afirmações (1) e (5).

As únicas que são falsas são as afirmações (4) e (6).

As únicas que são falsas são as afirmações (2) e (3).

(cod: P-53-35-12) Considere a curva \(\mathcal{C}\) dada pela equação \[x^2 + 2xy + 3y^2 = 8.\] Tomamos um círculo \(C_r\) de raio \(r>0\) centrado na origem de modo a conter a curva \(\mathcal{C}\) em seu interior. Em seguida, vamos diminuindo \(r\) até que o círculo toque a curva \(\mathcal{C}\) em dois pontos \(P_1\) e \(P_2\), conforme a animação abaixo.

Nos pontos \(P_1\) e \(P_2\), o círculo e a curva \(\mathcal{C}\) se tangenciam, ou seja, em cada um desses pontos, a curva \(\mathcal{C}\) e o círculo que a toca possuem a mesma reta tangente. Observe que \(P_1\) e \(P_2\) são os pontos da curva \(\mathcal{C}\) mais distantes da origem. Denotemos por \(D_M\) a distância desses pontos à origem.

Tomamos agora um círculo de raio \(r>0\) centrado na origem e contido na região limitada pela curva \(\mathcal{C}\). Em seguida, vamos aumentando \(r\) até que o círculo toque a curva \(\mathcal{C}\) nos pontos \(P_3\) e \(P_4\), conforme a animação abaixo.

Nos pontos \(P_3\) e \(P_4\), o círculo e a curva se tangenciam. Note que \(P_3\) e \(P_4\) são os pontos da curva \(\mathcal{C}\) mais próximos da origem. Denotemos por \(D_m\) a distância desses pontos à origem.

Utilizando diferenciação implícita e os fatos observados acima, podemos verificar que os valores de \(D_M\) e \(D_m\) são, respectivamente:

\(\sqrt{4 \sqrt{2} + 2}\) e \(\sqrt{4 \sqrt{2} - 2}\).

\(\sqrt{8 + 4 \sqrt{2}}\) e \(\sqrt{8 - 4 \sqrt{2}}\).

\(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}\) e \(\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}\).

\(\sqrt{8 \sqrt{2} + 2}\) e \(\sqrt{8 \sqrt{2} - 2}\).

\(\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}}\) e \(\sqrt{8 - 2 \sqrt{2}}\).

(cod: P-80-8-10) Sejam \(a_1, a_2, \dots, a_n\) números positivos e considere a função \[f(t) = \left\{\begin{array}{ll} \left(\dfrac{a_1^t + \cdots + a_n^t}{n}\right)^{\frac{1}{t}}, & \text{ se } t \ne 0 \\ A, & \text{ se } t=0.\end{array} \right. \] Observe que, para cada \(t \ne 0\) fixado, \(f(t)\) representa um tipo de média dos números \(a_1, \dots, a_n\). Por exemplo, \(f(1)\) é a média aritmética desses números, enquanto \(f(-1)\) é a média harmônica dos mesmos. Determine o valor da constante \(A\) para que a função \(f\) seja contínua em \(t=0\).

\(A = \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\)

\(A = \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\)

\(A = \sqrt{\dfrac{a_1^2 + \cdots + a_n^2}{n}}\)

\(A = 1\)

\(A = + \infty\)

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