Gráfico de funções e Problemas de Otimização

(cod: P-64-24-11) Considere as seguintes afirmações:

(1) Se \(f\) é uma função diferenciável em um intervalo aberto \(I\), com \(f'(x) > 0\), para todo \(x \in I\), então \(f\) é crescente em \(I\).

(2) Se \(x_0\) é um ponto crítico de \(f\), então \(f\) possui um máximo local ou um mínimo local em \(x_0\).

(3) Seja \(f:I \subset \mathbb{R}\) uma função contínua em um intervalo aberto \(I\). Suponha que exista um intervalo \((a,b)\) tal que \(x_0 \in (a,b) \subset I\) de modo que \(f'(x)<0\), para todo \( x \in (a,x_0)\) e \(f'(x)<0\), para todo \(x \in (x_0,b)\). Neste caso, podemos afirmar que \(x_0\) é um ponto de máximo local.

(4) Se \(f\) é uma função duas vezes diferenciável tal que \(f''(x) >0\) para todo \(x\) em um intervalo aberto \(I\), então \(f'\) é crescente em \(I\). Ou seja, \(f\) é côncava para cima em \(I\), de modo que o seu gráfico fica abaixo de todas as suas tangentes em \(I\).

(5) Se \(f''(x_0) = 0\), então \((x_0,f(x_0))\) é um ponto de inflexão do gráfico de \(f\).

(6) Suponha que \(f'(x_0) = 0\) e que \(f\) seja duas vezes diferenciável em \(x_0\). Se \(f''(x_0) > 0\), então \(f\) possui um máximo local em \(x_0\).

A respeito dessas afirmações, temos que:

(cod: P-64-10-18) Considere a função \(f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2-1}\). Selecione a figura que melhor representa o gráfico de \(f\):

(cod: P-61-26-6) Considere as seguintes afirmações:

(1) Uma função contínua \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) em um intervalo fechado e limitado \([a,b]\) deve assumir um valor mínimo absoluto.

(2) Se uma função contínua possui um extremo local em um número \(x_0\) do seu domínio, então \(f\) deve ser diferenciável em \(x_0\) e \(f'(x_0)=0\).

(3) Se uma função contínua possui um ponto crítico em um ponto \(x_0\) no interior do seu domínio, então \(f\) possui um extremo local em \(x_0\).

(4) Se \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) é uma função contínua no intervalo compacto (fechado e limitado) \([a,b]\), então \(f\) assume um valor máximo absoluto. Além disso, ou esse valor é assumido em uma extremidade do intervalo ou em um ponto crítico de \(f\) em \((a,b)\).

(5) Seja \(f:I \to \mathbb{R}\) uma função contínua em em um intervalo aberto \(I\) que possui um ponto crítico em \(x_0 \in I\). Se \(f'(x)>0\) para todo \(x < x_0\) em \(I\) e \(f'(x)<0\) para todo \(x > x_0\) em \(I\), então \(f\) possui um máximo absoluto em \(x_0\).

Dentre as afirmações acima, podemos afirmar que:

(cod: P-61-9-12) Deseja-se construir uma lata em formato de cilindro circular reto com volume igual a 1 litro. Determine o menor valor possível para a área total da superfície dessa lata (incluindo tampa, fundo e superfície lateral).

(cod: P-61-45-6) Uma empresa fabrica porta-retratos com molduras retangulares de larguras esquerda/direita medindo \(a = 4 \, cm\) e inferior/superior medindo \(b = 6 \, cm\), conforme ilustrado na figura. A empresa fixa a área principal do porta-retratos (a ser ocupada pelo retrato) em \(384 \, cm^2\).

(cod: P-61-46-6) Um copo de formato cônico deve ser construído da seguinte maneira: a partir de uma folha circular de raio \(R = 9 \, cm\) deve ser recortado um setor circular \(OAB\) de ângulo central \(\theta\). O que restou da folha é convertido em um cone, fazendo-se coincidir \(OA\) com \(OB\), conforme a figura abaixo.