Aplicações de Integral

(cod: P-77-50-5) Agulhas de Buffon: Considere um assoalho feito de tábuas de \(L\) centímetros de largura. Ao lançarmos uma agula de comprimento \(l < L\) sobre o assoalho, qual a probablidade de que a agulha cruze uma junção?

Denotemos por \(D\) a distância do centro da agulha para a linha (junção) mais próxima. Agora, considere a reta normal passando pelo centro da agulha e denotemos por \(\theta\) o menor ângulo formado entre a agulha e essa normal. A figura abaixo ilustra a situação para dois lançamentos distintos.

A partir de um lançamento, podemos então observar \(\theta\) e \(D\), onde necessariamente teremos \[0 \leq \theta \leq \pi/2 \ \ \ \text{ e } \ \ \ 0 \leq D \leq L/2.\] Ou seja, o resultado de um lançamento pode ser visto como uma escolha aleatória de um ponto \((\theta,D)\) no retângulo abaixo.

Admita que a probabilidade se distribui uniformemente neste retangulo, ou seja, que a probabilidade \(P_W\) do ponto obtido após um lançamento estar em uma dada região \(W\) desse retângulo é proporcional à área de \(W\). Ou ainda, \[P_W = \dfrac{\text{Área de }W}{\left(\pi L/4\right)},\] onde o denominador é área do retângulo. Agora note que a agulha cruzará uma linha exatamente quando \[D \leq \dfrac{l}{2}\cos(\theta),\] conforme indicado na figura abaixo.

Portanto, a agulha cruzará uma linha exatamente quando o par \((\theta,D)\) estiver na região rosa indicada na figura abaixo.

Podemos então concluir que a probabilidade da agulha cruzar uma linha após um lançamento é igual a:

\(\dfrac{2l}{L \pi}\)

\(\dfrac{2(L-l)}{l \pi}\)

\(\dfrac{\pi l}{2L }\)

\(\dfrac{l}{L \pi}\)

\(\dfrac{2(L-l)}{L \pi}\)

(cod: P-77-57-8) O objetivo deste exercício é calcula a área \(A\) da região limitada pela elipse de equação \[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,\] onde \(a\) é \(b\) são números positivos (observe que quando \(a = b\), a equação define um círculo de raio \(a\)).

Por simetria, podemos calcular a área da região no primeiro quadrante e multiplicar por \(4\).

Selecione a alternativa correta:

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \tan{\theta} \, \, \, \, \theta \in (-\pi/2,\pi/2), \\ & & \\ dx &=& a \sec^2 \theta \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \sec^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \, \text{sen}{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 2 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \text{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [0,\pi], \\ & & \\ dx &=& - a \, \text{sen}\, {\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \text{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Temos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Fazendo a substituição trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \text{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \text{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

(cod: P-77-51-12) Considere um ponto \(P = (\cosh{t},\, \text{senh}\, {t})\) no primeiro quadrante sobre a hipérbole \[x^2 - y^2 = 1.\] A área da região rosa na figura abaixo é igual a:

(cod: P-79-49-12) Considere um cabo flexível e homogêneo suspenso por suas extremidades, presas em postes, ambas em uma mesma altura. O cabo assume então o formato de uma curva, conhecida como catenária (vale a pena estudar a história deste problema).

O objetivo deste exercício é descrever uma expressão para tal curva e estudar suas propriedades.

Suponha que a altura dos postes seja \(h\) e a distância entre os postes seja de \(2b\). Vamos posicionar o eixo \(x\) na altura do solo e o eixo \(y\) conforme a figura, admitindo que a curva é o gráfico de uma função diferenciável \(y = f(x)\) que é par (simétrica com relação ao eixo \(y\)).

Denotemos por \(P\) o ponto mais baixo da curva, conforme a figura abaixo, e seja \(Q = (x,f(x))\) um ponto qualquer da curva, com \(x>0\). Vamos descrever as forças atuando no trecho da curva entre os pontos \(P\) e \(Q\).

A força de tensão na corda é tangente à curva e podemos decompô-la em componentes horizontal e vertical (note que tal força é horizontal no ponto \(P\)). Denotemos por \(T(x)\) o módulo da força de tensão em \(Q\). Se \(\theta = \theta(x)\) é o ângulo descrito na figura, então, como não há movimento, devemos ter \begin{equation}\label{comp1}T_0 = T(x) \cos(\theta(x)). \end{equation} Observe, em particular, que a magnitude da componente horizontal da tensão, dada por \(T(x) cos(\theta(x))\) é igual em qualquer ponto (não depende de \(x\)).

Do ponto de vista vertical, temos que \[p(x) = T(x) \text{sen}(\theta(x)),\] onde \(p(x)\) é o peso do cabo entre \(P\) e \(Q\). Sendo o cabo homogêneo, denotemos por \(\rho\) o peso do cabo por unidade de comprimento e por \(L(x)\) o comprimento do trecho da curva entre \(P\) e \(Q\). Temos então que \[p(x) = \rho L(x),\] ou seja, \begin{equation}\label{comp2}\rho L(x) = T(x) \text{sen}(\theta(x)). \end{equation} Por (\ref{comp1}) e (\ref{comp2}), concluímos que \[f'(x) = \tan(\theta(x)) = \dfrac{\rho L(x)}{T_0}.\] Considerando a constante \[a = \dfrac{\rho}{T_0},\] temos que \[f'(x) = a L(x),\] onde o comprimento \(L(x)\) é dado por \[L(x) = \int_0^x \sqrt{1 + (f'(t))^2} \, dt.\] Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, \(L'(x) = \sqrt{1 + (f'(x))^2}\), logo \begin{eqnarray*} & & f''(x) = a \sqrt{1 + (f'(x))^2} \\ & & \\ &\iff& \dfrac{f''(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} = a. \end{eqnarray*} Queremos então obter uma função \(f(x)\) que satisfaça a equação acima (tal equação é dita uma equação diferencial de segunda ordem). Escrevendo \(v(x) = f'(x)\), a equação diferencial acima pode ser escrita de modo mais simples (tornando-se uma equação de primeira ordem): \[\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1 + (v(x))^2}} = a.\] Tal equação pode ser resolvida integrando-se ambos os lados. Na integral que surge do lado esquerdo, podemos fazer a substituição \(u = v(x)\), obtendo \[\int\dfrac{1}{{\sqrt{1 + u^2}}} \, du,\] onde observamos que o integrando é a derivada da inversa do seno hiperbólico. Portanto, obtemos \begin{eqnarray*} & & \text{arsenh}\, (v(x)) = ax + B \\ & & \\ &\iff& v(x) = \text{senh}\, (ax+B) \\ & & \\ &\iff& f'(x) = \text{senh}\, (ax+B). \end{eqnarray*} Considere as seguintes questões:

(i) Use \(f'(0)\) para definir o valor da constante \(B\). Em seguida, integre novamente para obter a expressão de \(f(x)\). Ao fazer isso, surgirá uma nova constante de integração. Utilize o valor de \(f(b)\) para determinar essa constante e definir a expressão de \(f(x)\).

(ii) Determine o comprimento dessa catenária. Sabendo que a função é par, o comprimento da catenária será o dobro do comprimento do trecho no primeiro quadrante (trecho com \(x\) positivo).

(iii) A expressão da catenária depende do parâmetro \(a\). Para deixar isso claro, denotemos a catenária por \(y = f_a(x)\) e o seu comprimento por \(\mathcal{L}_a\). Determine quanto valem os limites \[\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) \, \, \, \text{ e } \, \, \, \lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a.\]

(i) Temos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h + \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) O comprimento da catenária é igual a \(\dfrac{2\, \text{senh}(b)}{a}\).

(iii) Temos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = h\) e \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = 2b\).

(i) Temos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h - \dfrac{\text{senh}(ab)}{a}.\]

(ii) O comprimento da catenária é igual a \(\dfrac{2b\, \text{cosh}(a)}{a}\).

(iii) Temos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = h\) e \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = b\).

(i) Temos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h - \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) O comprimento da catenária é igual a \(\dfrac{2\, \text{cosh}(ab)}{a}\).

(iii) Temos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = 0\) e \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = b\).

(i) Temos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h - \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) O comprimento da catenária é igual a \(\dfrac{2\, \text{senh}(ab)}{a}\).

(iii) Temos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = h\) e \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = 2b\).

(i) Temos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h + \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) O comprimento da catenária é igual a \(\dfrac{2\, \text{senh}(ab)}{a}\).

(iii) Temos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = 0\) e \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = 2b\).

(cod: P-79-52-8) Considere a superfície de revolução (ilimitada) obtida girando-se o gráfico da função \[f(x) = \dfrac{1}{x}, \, \, \, x \in [1,+\infty)\] ao redor do eixo das abscissas. Tal superfície é denominada trombeta de Gabriel.

Seja \(\mathcal{R}\) a região ilimitada localizada abaixo do gráfico de \(f\) e acima do eixo \(x\). Denotemos por \(W\) o sólido obtido ao girarmos a região \(\mathcal{R}\) ao redor dos eixos das abscissas, ou seja, \(W\) é o sólido delimitado pela trombeta de Gabriel.

Utilizando integração imprópria, podemos afirmar que:

A área da trombeta é menor do que o volume delimitado por ela (ou seja, o volume de \(W\)).

Tanto a área da trombeta, quanto o volume delimitado por ela (ou seja, o volume de \(W\)) são finitos.

A área da trombeta é o dobro do volume delimitado por ela (ou seja, o volume de \(W\)).

A área da trombeta é infinita, enquanto o volume delimitado por ela (ou seja, o volume de \(W\)) é finito.

Tanto a área da trombeta, quanto o volume delimitado por ela (ou seja, o volume de \(W\)) são infinitos.

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