Límites y continuidad

\(\displaystyle y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\)

\(y = \dfrac{1}{3}x \)

\(y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{3}\)

\(y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}\)

\(y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}\)

Si \(n=2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 0\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,0)\). Por otro lado, si \(n >2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.

Si \(n=2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1/2\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,1/2)\). Por otro lado, si \(n >2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.

Para cada \(n>1\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1/n\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,1/n)\).

Si \(n=2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,1)\). Por otro lado, si \(n >2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.

Cualquiera que sea \(n>1\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.

Tenemos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 4\), es decir, el punto \(P\) tenderá al punto \((4,0)\) cuando \(r\) tienda a cero.

Tenemos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 8\), es decir, el punto \(P\) tenderá al punto \((8,0)\) cuando \(r\) tienda a cero.

Tenemos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 0\), es decir, el punto \(P\) tenderá al punto \((0,0)\) cuando \(r\) tienda a cero.

Tenemos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = + \infty\), es decir, el punto \(P\) se moverá indefinidamente hacia la derecha cuando \(r\) tienda a cero.

Tenemos que \(\lim\limits_{r \to 0^+} p(r) = 2\), es decir, el punto \(P\) tenderá al punto \((2,0)\) cuando \(r\) tienda a cero.

La única asíntota vertical de \(f\) es la recta \(x = 0\), mientras que \(f\) no posee asíntotas horizontales.

Tenemos que \(f\) no posee asíntotas verticales y posee una única asíntota horizontal, que es la recta \(y=0\).

Tenemos que \(f\) no posee asíntotas horizontales ni asíntotas verticales.

Tenemos que \(f\) no posee asíntotas verticales y posee una única asíntota horizontal, que es la recta \(y=1\).

La única asíntota vertical de \(f\) es la recta \(x = 0\) y la única asíntota horizontal es la recta \(y = 0\).

\(a = - 8 \ \ \ \) y \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

\(a = 8 \ \ \ \) y \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

\(a = - 16 \ \ \ \) y \( \ \ \ b = \dfrac{1}{8}.\)

\(a = - 16 \ \ \ \) y \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

\(a = 16 \ \ \ \) y \( \ \ \ b = - \dfrac{1}{8}.\)

Suponga que \(n\) es par. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado par con coeficientes reales tiene al menos una raíz.

Suponga que \(n\) es par. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado par con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

Suponga que \(n\) es impar. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = \infty\) y \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to +\infty} p(x) = +\infty\). De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.

Suponga que \(n\) es impar. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty.\) Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Por lo tanto, no es posible afirmar que todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene una raíz real.

Suponga que \(n\) es impar. Si \(a_n>0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) y \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). Sin embargo, si \(a_n<0\), tenemos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = +\infty\) y \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). De cualquier manera, existen \(a < b\) tales que \(p(a)\) y \(p(b)\) tienen signos opuestos. Como \(p(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\), por lo tanto en \([a,b]\), se sigue del Teorema del Valor Intermedio que existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). En resumen, todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real.