Derivadas

(cod: P-49-43-6) Decimos que una función \(f\) es diferenciable o derivable en un número \(x_0\) de su dominio si existe \begin{equation}\label{eq1} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\end{equation} y, en este caso, la derivada de \(f\) en \(x_0\), denotada por \(f'(x_0)\), está dada por el valor de este límite, es decir,

\[f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.\] Para un valor de \(h\) fijado, la razón \[\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \] que aparece en el límite (\ref{eq1}), puede interpretarse como la inclinación (pendiente o coeficiente angular) de la recta secante que pasa por los puntos \(P = (x_0+h,f(x_0+h))\) y \(P_0 = (x_0,f(x_0))\). Si \(f\) es diferenciable en \(x_0\), la recta que pasa por \(P_0 = (x_0,f(x_0))\) y tiene inclinación \(f'(x_0)\) se denomina recta tangente al gráfico \(y = f(x)\) en \(P_0\). En la animación a continuación, la recta tangente en \(P_0\) aparece en lila, en un caso en que \(x_0 = 1\).

Observamos que el límite en (\ref{eq1}) es equivalente al límite \begin{equation}\label{eq3} \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},\end{equation} es decir, si uno de ellos existe, entonces el otro también existe y tiene el mismo valor.

Dada una función \(f: U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), podemos considerar la derivada de \(f\) como siendo la función \[f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h},\] definida en el conjunto \[ \{x \in U: \ f \text{ es diferenciable en } x\}.\] Dada una función \(y = f(x)\), podemos utilizar otra forma de denotar su derivada, conocida como notación de Leibniz (observe que en esta notación, utilizamos \(\Delta x\) en lugar de \(h\)): \[\dfrac{dy}{dx} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\overbrace{f(x+\Delta x) - f(x)}^{\Delta y}}{\Delta x}.\] En realidad, tenemos varias formas de denotar la derivada de una función \(y = f(x)\). Presentamos algunas a continuación: \[f'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx} \left(f(x)\right) = Df(x).\] La notación de Leibniz enfatiza el carácter de la derivada como una tasa de variación. Si \(y = f(x)\), observe que \[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\] representa una tasa media de variación de \(y\) con respecto a \(x\). La derivada surge cuando hacemos que \(\Delta x\) tienda a cero. Consideremos un ejemplo más específico. Suponga que un objeto realiza un movimiento rectilíneo, de modo que su posición puede describirse a partir de una función \(s = s(t)\) y representada gráficamente como un punto sobre un eje. Observe que \[\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}\] representa la velocidad media en el intervalo de tiempo entre los instantes \(t\) y \(t + \Delta t\). En este caso, la derivada de la función posición representa la velocidad instantánea del objeto en el instante \(t\): \[\small{v(t) = \dfrac{ds}{dt} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}.}\]

Vimos que, al derivar una función, obtenemos una nueva función, que es su derivada. Podemos entonces derivar esta nueva función, obteniendo la segunda derivada o derivada segunda o derivada de segunda orden. La segunda derivada de una función \(y = f(x)\) se denota por \[f''(x) \ \ \text{ o } \ \ \dfrac{d^2 y}{dx^2} \ \ \text{ o } \ \ f^{(2)}(x).\] Procediendo inductivamente, si \(k\) es un número natural, podemos considerar la \(k\)-ésima derivada o derivada de orden \(k\) de \(y = f(x)\), la cual denotamos por \[f^{(k)}(x) \ \ \text{ o } \ \ \dfrac{d^k y }{dx^k}.\] Si \(s = s(t)\) describe la posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la segunda derivada \(s''(t)\) representa la aceleración instantánea del objeto en el instante \(t\).

Considere las siguientes cuestiones:

(1) Si \(f\) es una función diferenciable en un número \(x_0\) de su dominio, ¿entonces \(f\) es necesariamente continua en \(x_0\)? Recíprocamente, si una función \(f\) es continua en un número \(x_0\) de su dominio, ¿entonces \(f\) es necesariamente diferenciable en \(x_0\)?

(2) Si \(n\) es un número natural, determine la recta tangente al gráfico de la función \(f(x) = x^n\) en el punto \(P_0 = (1,1)\).

(3) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba. Su altura, en pies, transcurridos \(t\) segundos, está dada por \(s = s(t) = 144t - 16t^2, \ t \in [0,9]\). Determine la velocidad \(v(t)\) del proyectil (en pies por segundo) y la aceleración \(a(t)\) del proyectil (en pies por segundo al cuadrado).

Seleccione la alternativa correcta:

(1) Si una función es diferenciable en \(x_0\), entonces necesariamente es continua en \(x_0\). Recíprocamente, si una función es continua en un número \(x_0\), entonces \(f\) es diferenciable en \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) - 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32t. \end{eqnarray*}

(1) Si una función es diferenciable en \(x_0\), entonces necesariamente es continua en \(x_0\). Sin embargo, existen funciones que son continuas en un número \(x_0\), pero no son diferenciables en \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32. \end{eqnarray*}

(1) Si una función es diferenciable en \(x_0\), entonces necesariamente es continua en \(x_0\). Sin embargo, existen funciones que son continuas en un número \(x_0\), pero no son diferenciables en \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 16t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -16. \end{eqnarray*}

(1) Si una función es diferenciable en \(x_0\), entonces necesariamente es continua en \(x_0\). Sin embargo, existen funciones que son continuas en un número \(x_0\), pero no son diferenciables en \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) - 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32t. \end{eqnarray*}

(1) Si una función es continua en \(x_0\), entonces necesariamente es diferenciable en \(x_0\). Sin embargo, existen funciones que son diferenciables en un número \(x_0\), pero no son continuas en \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 16t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -16. \end{eqnarray*}

(cod: P-49-28-5) A continuación se presentan afirmaciones relacionadas con la derivada de diversas funciones:

(1) Si \(c \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(c\right) = 0.\)

(2) Si \(c \in \mathbb{R}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(cx\right) = cx\)

(3) Si \(n \in \mathbb{N}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(x^n \right) = nx^{n-1}\)

(4) \(\dfrac{d}{dx}\left(x^{1/2}\right) = \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

(5) Si \(n \in \mathbb{N}\), \(\dfrac{d}{dx}\left(x^{-n} \right) = nx^{-n-1}\)

(6) \(\dfrac{d}{dx}\left(\text{sen}(x) \right)= \cos(x) \)

(7) \(\dfrac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)= \text{sen}(x)\)

(8) \(\dfrac{d}{dx}\left(\tan(x)\right) = \sec^2(x)\)

(9) \(\dfrac{d}{dx}\left(\sec(x)\right) = \tan^2(x)\)

(10) \(\dfrac{d}{dx}\left(b^x \right) = b^x \ln(b)\)

(11) Si \(0 < b \ne 1\), \(\dfrac{d}{dx}\left(\log_b(x)\right) = \dfrac{1}{x}\)

(12) \(\dfrac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x\)

(13) \(\dfrac{d}{dx}\left(\ln(x)\right) = \dfrac{1}{x}\)

(14) \(\dfrac{d}{dx}\left(3^x\right) = x 3^{x-1}\)

Podemos afirmar que:

Entre estas, las únicas afirmaciones que son falsas son las de número (2), (5), (8), (9) y (14).

Entre estas, las únicas afirmaciones que son falsas son las de número (2), (10) y (11).

Entre estas, las únicas afirmaciones que son falsas son las de número (2), (4), (7) y (14).

Entre estas, las únicas afirmaciones que son falsas son las de número (4), (8), (10) y (11).

Entre estas, las únicas afirmaciones que son falsas son las de número (2), (5), (7), (9), (11) y (14).

(cod: P-52-29-11) Considere las siguientes cuestiones:

(1) \(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\right)\) es igual a:

(2) \(\dfrac{d}{dx}\left(e^{-2x}\cos(3x)\right)\) es igual a:

(3) Sean \(F\), \(G\) y \(H\) funciones diferenciables tales que: \begin{eqnarray*} F(0) &=& 2, \ \ \ \ \ \ \ F'(0) &=& 3, \\ G(0) &=& 1, \ \ \ \ \ \ \ G'(0) &=& -1, \\ G(1) &=& -1, \ \ G'(1) &=& 1, \\ H(0) &=& 1, \ \ \ \ \ \ \ H'(0) &=& 2. \end{eqnarray*} Si \(f(x) = F(x)G(H(x))\), determine \(f'(0)\).

(4) Sea \(f : I \to J\) una biyección diferenciable entre intervalos abiertos \(I\) y \(J\) tal que \[f(1) = 0 \ \ \ \text{y} \ \ \ f'(1) = \dfrac{1}{2}.\] Denotemos por \(f^{-1}:J \to I\) la inversa de \(f\) y considere la función \(g(t) = (t^2 + t + 3)f^{-1}(t)\). Determine el valor de \(g'(0)\).

Seleccione la alternativa que responde correctamente a las cuatro cuestiones anteriores.

\begin{eqnarray*} &(1)& 2 \\ & & \\ &(2)& - e^{-2x}\left(2\cos(3x) + 3 \, \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = -1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 6 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& - \dfrac{36x}{(x^2 - 9)^2} \\ & & \\ &(2)& e^{-2x}\left(\cos(3x) + \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = -1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 6 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& 2 \\ & & \\ &(2)& e^{-2x}\left(\cos(3x) + \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = 1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 7 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& - \dfrac{36x}{(x^2 - 9)^2} \\ & & \\ &(2)& - e^{-2x}\left(2\cos(3x) + 3 \, \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = 1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 7 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &(1)& - \dfrac{36x}{(x^2 - 9)^2} \\ & & \\ &(2)& e^{-2x}\left(\cos(3x) + \text{sen}(3x)\right) \\ & & \\ &(3)& f'(0) = -1 \\ & & \\ &(4)& g'(0) = 7 \end{eqnarray*}

(cod: P-52-32-5) Considere las siguientes afirmaciones:

(1) Si \(f(x) = x^r\), para \(x > 0\), donde \(r\) es un número real cualquiera, entonces \(f'(x) = r x^{r-1}\).

(2) \(\dfrac{d}{dx}\ln(|x|) = \dfrac{1}{x}.\)

(3) \(\dfrac{d}{dx} \operatorname{senh}\, x = \cosh{x}.\)

(4) \(\dfrac{d}{dx} \cosh{x} = - \operatorname{senh}\, {x}.\)

(5) \(\dfrac{d}{dx} \tanh{x} = \operatorname{sech}^2\, {x}.\)

(6) \(\dfrac{d}{dx} \operatorname{sech}\, {x} = \operatorname{sech}\, {x} \tanh{x}.\)

Con respecto a estas afirmaciones, tenemos que:

Las únicas que son falsas son las afirmaciones (2) y (3).

Las únicas que son falsas son las afirmaciones (2) y (4).

La única que es falsa es la afirmación (2).

Las únicas que son falsas son las afirmaciones (1) y (5).

Las únicas que son falsas son las afirmaciones (4) y (6).

(cod: P-53-35-12) Considere la curva \(\mathcal{C}\) dada por la ecuación \[x^2 + 2xy + 3y^2 = 8.\] Tomamos un círculo \(C_r\) de radio \(r>0\) centrado en el origen de manera que contenga la curva \(\mathcal{C}\) en su interior. Luego, disminuimos \(r\) hasta que el círculo toque la curva \(\mathcal{C}\) en dos puntos \(P_1\) y \(P_2\), según la animación a continuación.

En los puntos \(P_1\) y \(P_2\), el círculo y la curva \(\mathcal{C}\) son tangentes, es decir, en cada uno de estos puntos, la curva \(\mathcal{C}\) y el círculo que la toca tienen la misma recta tangente. Observe que \(P_1\) y \(P_2\) son los puntos de la curva \(\mathcal{C}\) más alejados del origen. Denotemos por \(D_M\) la distancia de estos puntos al origen.

Tomamos ahora un círculo de radio \(r>0\) centrado en el origen y contenido en la región limitada por la curva \(\mathcal{C}\). Luego, aumentamos \(r\) hasta que el círculo toque la curva \(\mathcal{C}\) en los puntos \(P_3\) y \(P_4\), según la animación a continuación.

En los puntos \(P_3\) y \(P_4\), el círculo y la curva son tangentes. Note que \(P_3\) y \(P_4\) son los puntos de la curva \(\mathcal{C}\) más cercanos al origen. Denotemos por \(D_m\) la distancia de estos puntos al origen.

Utilizando diferenciación implícita y los hechos observados anteriormente, podemos verificar que los valores de \(D_M\) y \(D_m\) son, respectivamente:

\(\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}\) y \(\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}\).

\(\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}}\) y \(\sqrt{8 - 2 \sqrt{2}}\).

\(\sqrt{4 \sqrt{2} + 2}\) y \(\sqrt{4 \sqrt{2} - 2}\).

\(\sqrt{8 \sqrt{2} + 2}\) y \(\sqrt{8 \sqrt{2} - 2}\).

\(\sqrt{8 + 4 \sqrt{2}}\) y \(\sqrt{8 - 4 \sqrt{2}}\).

(cod: P-80-8-10) Sean \(a_1, a_2, \dots, a_n\) números positivos y considere la función \[f(t) = \left\{\begin{array}{ll} \left(\dfrac{a_1^t + \cdots + a_n^t}{n}\right)^{\frac{1}{t}}, & \text{ si } t \ne 0 \\ A, & \text{ si } t=0.\end{array} \right. \] Observe que, para cada \(t \ne 0\) fijado, \(f(t)\) representa un tipo de promedio de los números \(a_1, \dots, a_n\). Por ejemplo, \(f(1)\) es el promedio aritmético de estos números, mientras que \(f(-1)\) es el promedio armónico de los mismos. Determine el valor de la constante \(A\) para que la función \(f\) sea continua en \(t=0\).

\(A = \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\)

\(A = + \infty\)

\(A = \sqrt{\dfrac{a_1^2 + \cdots + a_n^2}{n}}\)

\(A = 1\)

\(A = \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\)

Sitio:	Proyecto DICA
Curso:	Área de Visitantes (es)
Libro:	Derivadas

Imprimido por:	Usuário visitante
Día:	miércoles, 24 de junio de 2026, 04:04

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