Gráficas de funciones y problemas de optimización

(cod: P-64-24-11) Considere las siguientes afirmaciones:

(1) Si \(f\) es una función diferenciable en un intervalo abierto \(I\), con \(f'(x) > 0\), para todo \(x \in I\), entonces \(f\) es creciente en \(I\).

(2) Si \(x_0\) es un punto crítico de \(f\), entonces \(f\) posee un máximo local o un mínimo local en \(x_0\).

(3) Sea \(f:I \subset \mathbb{R}\) una función continua en un intervalo abierto \(I\). Suponga que existe un intervalo \((a,b)\) tal que \(x_0 \in (a,b) \subset I\) de modo que \(f'(x)<0\), para todo \( x \in (a,x_0)\) y \(f'(x)<0\), para todo \(x \in (x_0,b)\). En este caso, podemos afirmar que \(x_0\) es un punto de máximo local.

(4) Si \(f\) es una función dos veces diferenciable tal que \(f''(x) >0\) para todo \(x\) en un intervalo abierto \(I\), entonces \(f'\) es creciente en \(I\). Es decir, \(f\) es cóncava hacia arriba en \(I\), de modo que su gráfico queda por debajo de todas sus tangentes en \(I\).

(5) Si \(f''(x_0) = 0\), entonces \((x_0,f(x_0))\) es un punto de inflexión del gráfico de \(f\).

(6) Suponga que \(f'(x_0) = 0\) y que \(f\) sea dos veces diferenciable en \(x_0\). Si \(f''(x_0) > 0\), entonces \(f\) posee un máximo local en \(x_0\).

Con respecto a estas afirmaciones, tenemos que:

(cod: P-64-10-18) Considere la función \(f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2-1}\). Seleccione la figura que mejor representa el gráfico de \(f\):

(cod: P-61-26-6) Considere las siguientes afirmaciones:

(1) Una función continua \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) debe asumir un valor mínimo absoluto.

(2) Si una función continua posee un extremo local en un número \(x_0\) de su dominio, entonces \(f\) debe ser diferenciable en \(x_0\) y \(f'(x_0)=0\).

(3) Si una función continua posee un punto crítico en un punto \(x_0\) en el interior de su dominio, entonces \(f\) posee un extremo local en \(x_0\).

(4) Si \(f:[a,b] \to \mathbb{R}\) es una función continua en el intervalo compacto (cerrado y acotado) \([a,b]\), entonces \(f\) asume un valor máximo absoluto. Además, o este valor es asumido en un extremo del intervalo o en un punto crítico de \(f\) en \((a,b)\).

(5) Sea \(f:I \to \mathbb{R}\) una función continua en un intervalo abierto \(I\) que posee un punto crítico en \(x_0 \in I\). Si \(f'(x)>0\) para todo \(x < x_0\) en \(I\) y \(f'(x)<0\) para todo \(x > x_0\) en \(I\), entonces \(f\) posee un máximo absoluto en \(x_0\).

Entre las afirmaciones anteriores, podemos afirmar que:

(cod: P-61-9-12) Se desea construir una lata en forma de cilindro circular recto con un volumen igual a 1 litro. Determine el menor valor posible para el área total de la superficie de esta lata (incluyendo tapa, fondo y superficie lateral).

(cod: P-61-45-6) Una empresa fabrica portarretratos con marcos rectangulares de anchos izquierdo/derecho que miden \(a = 4 \, cm\) e inferior/superior que miden \(b = 6 \, cm\), como se ilustra en la figura. La empresa fija el área principal del portarretratos (que será ocupada por la fotografía) en \(384 \, cm^2\).

(cod: P-61-46-6) Un vaso de forma cónica debe ser construido de la siguiente manera: a partir de una hoja circular de radio \(R = 9 \, cm\) se debe recortar un sector circular \(OAB\) con un ángulo central \(\theta\). Lo que queda de la hoja se convierte en un cono, haciendo coincidir \(OA\) con \(OB\), como se muestra en la figura a continuación.