Integrales y el Teorema Fundamental del Cálculo

(cod: P-67-37-4) El objetivo de este ejercicio es obtener el área de la región \(\mathcal{R}\) limitada por la parábola \(y = x^2\) y las rectas \(y = 0\) (eje \(x\)) y \(x=1\), utilizando un método de agotamiento.

Fijado un número natural \(n\), dividimos el intervalo \([0,1]\) sobre el eje \(x\) en \(n\) subintervalos iguales y, a continuación, trazamos segmentos verticales de manera que dividimos la región \(\mathcal{R}\) en \(n\) franjas. La figura a continuación ilustra la situación para \(n = 5\).

Primero, aproximaremos el área de cada una de las \(n\) franjas por el área de un rectángulo, cuya base está sobre el eje \(x\) (midiendo \(1/n\)) y cuya altura está dada por el segmento vertical que coincide con el lado derecho de la respectiva franja. La figura a continuación ilustra la situación cuando \(n = 5\).

Podemos entonces aproximar el área de \(\mathcal{R}\) por la suma del área de los \(n\) rectángulos, la cual denotamos por \(S_n\). Tenemos que \[\small{\begin{eqnarray*} S_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n}{n}\right)^2 \\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \right). \end{eqnarray*}} \] Otra posibilidad sería aproximar el área de cada franja por el área de un rectángulo de base \(\frac{1}{n}\) y altura dada por el segmento vertical que coincide con el lado izquierdo de la franja (nótese que el primer rectángulo tendrá altura cero, por lo que su área también será cero). La figura muestra la situación cuando \(n = 5\):

Podemos entonces aproximar el área de \(\mathcal{R}\) por la suma del área de los \(n\) rectángulos, la cual denotamos por \(s_n\). Tenemos que \[\small{\begin{eqnarray*} s_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{0}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2 \\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 \right). \end{eqnarray*}} \] Es posible verificar que las aproximaciones \(A(\mathcal{R}) \approx S_n\) y \(A(\mathcal{R}) \approx s_n\) mejoran cuando aumentamos el valor de \(n\), como sugieren las animaciones a continuación:

Primero, nótese que, para cada \(n \in \mathbb{N}\), tenemos \[s_n \leq A(\mathcal{R}) \leq S_n.\] Ahora, utilizando las expresiones de \(s_n\) y \(S_n\) descritas anteriormente, verifique que \(s_n\) y \(S_n\) tienden a un mismo número real cuando \(n\) tiende a infinito. Definimos entonces \(A(\mathcal{R})\) como igual a este número. Seleccione la opción correcta:

(cod: P-67-38-6) El objetivo de este ejercicio es explorar el concepto de integrales definidas.

Considere una función \(f\) definida en un intervalo \([a,b]\). Una partición del intervalo \([a,b]\) es una división de \([a,b]\) en subintervalos. Más precisamente, una partición se obtiene a partir de la elección de puntos \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b},\] de modo que divida el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos \[ [x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]. \] En cada subintervalo de la partición, elegimos un punto de muestra. Para \( i \in \{1,2,\dots,n\}\), denotamos el \(i\)-ésimo punto de muestra por \[x_i^* \in [x_{i-1},x_i]\] y denotamos por \[\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\] la longitud del \(i\)-ésimo subintervalo. Dadas estas elecciones, tenemos entonces una suma de Riemann para \(f\) dada por \[\small{f(x_1^*)\Delta x_1 + f(x_2^*)\Delta x_2 + \cdots + f(x_n^*) \Delta x_n},\] o también, utilizando la notación sigma, \[\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\] La figura a continuación ilustra la situación con \(n = 6\). En ella, las bases de los rectángulos representan los subintervalos de la partición (no mostramos los puntos \(x_1, x_2, \dots, x_n\) de la partición, solo los puntos de muestra).

En el ejemplo anterior, cada uno de los cuatro primeros términos de la suma de Riemann representa el área de un rectángulo azul, mientras que el último y el penúltimo términos son negativos (pues \(f\) es negativa en los dos últimos puntos de muestra), siendo que el valor de cada uno de estos términos se obtiene multiplicando el área de un rectángulo rosa por \((-1)\).

Decimos que \(f\) es integrable en el intervalo \([a,b]\) si existe un número \(L\) tal que \[ \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i = L,\] donde este límite significa que podemos hacer que una suma de Riemann sea tan cercana como queramos a \(L\), independientemente de las elecciones de los puntos de muestra, siempre que la longitud máxima de los subintervalos de la partición sea suficientemente pequeña. En este caso, decimos que la integral definida de \(f\) de \(a\) hasta \(b\) es igual a \(L\). Utilizamos la notación \(\int_a^b f(x) \, dx\) para representar esta integral, de modo que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\]

Hay un teorema importante que garantiza que si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\).

Siendo \(f\) una función continua en \([a,b]\) (por lo tanto, integrable), podemos aproximar el valor de la integral de \(f\) por sumas de Riemann tomadas de manera sistemática. Para cada \(n \in \mathbb{N}\), tomemos una partición regular de \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de igual longitud \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\). Observe que \(\Delta x \longrightarrow 0\) cuando \(n \longrightarrow + \infty\). Así, independientemente de las elecciones de los puntos de muestra, tenemos que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] Es claro que, fijada una partición regular, existen muchas maneras distintas de elegir puntos de muestra. Hay algunas elecciones más usuales, como, por ejemplo, tomando como punto de muestra el punto medio de cada subintervalo. En la animación a continuación, que ilustra el proceso cuando aumentamos \(n\), utilizamos como punto de muestra el extremo derecho de cada subintervalo. Para esta elección, la suma de Riemann asociada se llama suma de Riemann a la derecha.

Observamos que cuando la función \(f\) no es negativa en el intervalo \([a,b]\) (es decir, \(f(x) \geq 0\) para todo \(x \in [a,b]\)), la integral de \(f\) representa el área de la región entre el eje de abscisas y el gráfico de \(f\), con \(x\) entre \(a\) y \(b\). Sin embargo, este no es el caso en general. En el ejemplo de nuestra ilustración, el valor de la integral puede interpretarse geométricamente como la diferencia entre el área de la región azul y el área de la región rosa, como se indica a continuación.

Ocupémonos ahora de un ejemplo específico. Considere la función \(f(x) = x^2 - 1\) y el intervalo \([-1,2]\). Para cada \(n\), considere la suma de Riemann a la derecha de \(f\) en ese intervalo. Tenemos que \[\Delta x = \dfrac{2 - (-1)}{n} = \dfrac{3}{n}\] y que el \(i\)-ésimo punto de muestra está dado por \[x_i^* = x_{i+1} = -1 + i\left(\dfrac{3}{n}\right).\] Así, tenemos que \[f(x_i^*) = \left(-1 + \dfrac{3i}{n}\right)^2 - 1 = \dfrac{9i^2}{n^2} - \dfrac{6i}{n}.\] Por lo tanto, \[f(x_i^*)\Delta x = 9 \left(\dfrac{3i^2}{n^3} - \dfrac{2i}{n^2} \right).\] Trabajando algebraicamente la expresión de la suma de Riemann y, luego, calculando el límite, podemos concluir que

(cod: P-67-43-8) Considere un objeto que se mueve con velocidad escalar \(V(t)\) (en metros por segundo). Recordemos que la velocidad escalar es el módulo del vector velocidad, por lo tanto, siempre es no negativa.

Si la velocidad escalar es constante en un intervalo de tiempo \([a,b]\), es decir, si \(V(t) = V_0\), para todo \(t \in [a,b]\), entonces la distancia recorrida por el objeto en el intervalo de tiempo \([a,b]\) es igual a \(V_0 (b-a)\).

Consideremos ahora el caso en que la velocidad escalar no es constante. Dividamos el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de tiempo de igual longitud \(\Delta t = \dfrac{b-a}{n}\). Si elegimos \(n\) grande, estos subintervalos son muy pequeños, de modo que podemos asumir que la velocidad varía poco en cada uno de estos subintervalos. Haciendo una aproximación, consideremos que la velocidad en el \(i\)-ésimo subintervalo es constante e igual a \(V(t_i^*)\), donde \(t_i^*\) es un instante de muestra en ese subintervalo. Podemos, entonces, aproximar la distancia recorrida en el \(i\)-ésimo subintervalo de tiempo por \(V(t_i^*)\Delta t\). La distancia recorrida en el intervalo de tiempo \([a,b]\) puede entonces ser aproximada por \[L \approx \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t.\] El valor exacto de la distancia recorrida en el intervalo de tiempo \([a,b]\) está dado por \[L = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t = \int_a^b V(t) \, dt.\] Considere ahora un objeto que es lanzado verticalmente (en movimiento rectilíneo), cuya altura (posición), en pies, transcurridos \(t\) segundos, está dada por \[s = s(t) = 144t - 16t^2, \, \, t \in [0,9].\] La velocidad del objeto está dada por \(v(t) = \dfrac{ds}{dt}\). Observe que, como el movimiento es rectilíneo, la velocidad siempre apunta en la misma dirección (dirección del eje del movimiento), pero no necesariamente en el mismo sentido. La velocidad escalar está dada por \(V(t) = |v(t)|\).

Considere las siguientes cuestiones: (1) Determine la distancia recorrida \[L = \int_0^9 V(t) \, dt.\] (2) Determine el valor de la integral \[\int_a^b v(t) \, dt.\]

(cod: P-68-41-9) El objetivo de este ejercicio es presentar una demostración para la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

Teorema Fundamental del Cálculo (parte 1): Sea \(f\) una función continua en un intervalo abierto \(I\) y sea \(a \in I\). La función \[F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\] es una primitiva o antiderivada de \(f\) en \(I\), es decir, \[\dfrac{d}{dx}F(x) = f(x).\]

Obs: Nótese que la variable de la función \(F\) es el límite superior de integración. Dentro de la integral, para evitar confusión, utilizamos otra letra para representar la variable (llamada variable muda). Aquí usamos \(t\), pero podríamos haber usado cualquier otra.

Considere \(x \in I\) (en la figura a continuación, tomamos \(x > a\), pero el argumento puede hacerse en cualquier caso) y tomemos \(h > 0\) de modo que \(x+h\) aún esté en \(I\).

Tenemos que \[F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) \, dt. \] Por otro lado, existe \(c = c_h\) (que depende de \(h\)) entre \(x\) y \(x+h\) tal que \[\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c_h)h. \] En el caso en que \(f\) es positiva, la información significa, geométricamente, que para un cierto \(c_h\), el área de la franja marrón coincide con el área del rectángulo de altura \(f(c_h)\) y base \(h\).

Por lo tanto, \begin{eqnarray*}& & \lim\limits_{h \to 0^+} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \\ & & \\ &=& \lim\limits_{h \to 0^+} f(c_h) = f(x), \end{eqnarray*} una vez que \(c_h \longrightarrow x\) cuando \(h \to 0^+\) y \(f\) es continua en \(x\). Podemos utilizar el mismo argumento para el otro límite lateral, lo que nos permite entonces concluir que \[F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x),\]

como queríamos demostrar.

Obs: La parte 1 del Teorema Fundamental del Cálculo dice que cualquier función continua en un intervalo abierto posee una primitiva. Además, el teorema exhibe una expresión para tal primitiva mediante una integral.

Obs: Según el teorema, podemos escribir \[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x).\]

Obs: Si \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) es continua en el intervalo compacto \([a,b]\) y \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\), el mismo argumento prueba que \(F\) es diferenciable en \((a,b)\) (con \(F'(x) = f(x)\)) y posee derivada lateral a la derecha en \(a\) y a la izquierda en \(b\), siendo por lo tanto continua en \([a,b]\).

¿Tenemos entonces algunas preguntas?

(1) ¿Por qué es válida la afirmación en marrón?

(2) ¿Qué resultado garantiza la validez de la frase en azul?

(3) ¿Cuál es la derivada de la función a continuación? \[F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt\]

(cod: P-68-40-3) Teorema Fundamental del Cálculo: Si \(f(x)\) es una función continua en un intervalo \([a,b]\) y \(F\) es una primitiva o antiderivada de \(f\), es decir, \[\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x),\] entonces \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).\]

El objetivo de este ejercicio es presentar una demostración para el Teorema Fundamental del Cálculo (T.F.C.). Para cada número natural \(n > 3\), considere la partición regular \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b}\] de \([a,b]\) en subintervalos de longitud \(\Delta x = (b-a)/n\). Observe que podemos escribir la variación de \(F\) en \([a,b]\) como la suma de las variaciones de \(F\) en los subintervalos. De hecho, tenemos que \begin{eqnarray*} & & F(b) - F(a) \\ & & \\ &=& F(x_n) - F(x_0) \\ & & \\ &=& \small{(F(x_n)- F(x_{n-1})) + (F(x_{n-1}) - F(x_{n-2}))} \\ & & \\ &+& \small{\cdots + (F(x_{2}) - F(x_{1})) + (F(x_1)-F(x_0))}. \end{eqnarray*} De hecho, observe que, en la suma larga, podemos cancelar varios términos, obteniendo solo el primero y el último (suma telescópica). Así, podemos concluir que \(\small{\begin{equation}\label{equa1}F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n F(x_i) - F(x_{i-1}).\end{equation}}\) Ahora, para cada \(i \in \{1,2,\dots,n\}\), existe \(x_i^* \in (x_{i-1},x_i)\) tal que \[\dfrac{F(x_i) - F(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} = F'(x_i^*),\] o, equivalentemente, \[\small{F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(x_i^*) \Delta x = f(x_i^*) \Delta x}.\] Por lo tanto, se sigue de la ecuación \((\ref{equa1})\) que, para cualquier \(n > 3\), \[F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] Haciendo \(n \to + \infty\) (considerando siempre \(x_i^*\) como se mencionó), concluimos que \[F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx,\] como queríamos demostrar.

Tenemos dos preguntas:

(1) ¿Qué teorema clásico garantiza que la frase en marrón es verdadera?

(2) ¿Por qué la frase en azul es verdadera?

(cod: P-69-44-5) El Teorema Fundamental del Cálculo, en sus dos partes, nos dice, en términos generales, que la derivación y la integración son procesos inversos. En particular, el concepto de primitiva o antiderivada es central en el estudio del Cálculo Diferencial e Integral. Decimos que una función \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\) en un intervalo \(I\) si \(F'(x) = f(x)\) para todo \(x \in I\). Motivados por el Teorema Fundamental del Cálculo, presentamos el concepto de integral indefinida de una función \(f\), que representa la forma general de una primitiva de \(f\) en un intervalo.

Observe que, si dos funciones \(F_1\) y \(F_2\) son primitivas de una misma función \(f\) en un intervalo abierto \(I\), entonces \(F_1\) y \(F_2\) tienen derivadas idénticas en \(I\) y, por lo tanto, difieren por una constante. Así, si \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\) en un intervalo abierto \(I\), la integral indefinida de \(f\) se define por \[\int f(x) \, dx = F(x) + C,\] lo que nos dice que la forma general de una primitiva de \(f\) en un intervalo \(I\) está dada por la función \(F\) más una constante. Note que el símbolo de la integral indefinida es el mismo que se introdujo en la integral definida, excepto que no presenta los límites de integración. Observe que la integral definida de una función en un intervalo \([a,b]\) es un número, mientras que la integral indefinida representa una familia de funciones, o la forma general de una primitiva de \(f\) en un intervalo.

Por ejemplo, sabemos que \(\dfrac{d}{dx}\text{sen}(x) = \cos(x)\). Entonces tenemos que \[\int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C.\] Considere las siguientes afirmaciones.

(1) Si \(p \ne -1\), entonces \[\displaystyle \int x^p \, dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C.\]

(2) \begin{eqnarray*} & & \int (x^3 - 2x^2 + 4x -2) \, dx \\ & & \\ &=& \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{2x^3}{3} + 2x^2 - 2x + C. \end{eqnarray*}



(3) Si \[\small{\begin{eqnarray*}p(x) &=& c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + c_1x + c_0 \\ & & \\ &=& \sum_{k = 0}^n c_k x^k \end{eqnarray*}}\] es una función polinómica, entonces \begin{eqnarray*} & & \int p(x) \, dx \\ & & \\ &=& \small{\dfrac{c_n x^{n+1}}{n+1} + \cdots + \dfrac{c_1 x^2}{2} + c_0x + C} \\ & & \\ &=& C + \sum_{k=0}^n \dfrac{c_k x^{k+1}}{k+1}. \end{eqnarray*}

(4) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C.\)

(5) \(\displaystyle \int \text{sen}(x) \, dx = - \cos(x) + C\).

(6) \(\displaystyle \int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C\).

(7) \(\displaystyle \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C\).

(8) Si \(0 < b \ne 1\), \(\displaystyle \int b^x \, dx = \dfrac{b^x}{\ln{b}} + C\).<%9%12%>
(9) \(\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C\).

(10) \(\displaystyle \int \text{senh}\, x \, dx = \cosh{x} + C\).

(11) \(\displaystyle \int \cosh{x} \, dx = \text{senh} \, {x} + C\).

(12) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C\).

(13) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \, dt = \text{arsinh}\, {t} + C\).

Con respecto a estas afirmaciones, tenemos que: