Aplicaciones de la integral

(cod: P-77-50-5) Agujas de Buffon: Considere un suelo hecho de tablas de \(L\) centímetros de ancho. Al lanzar una aguja de longitud \(l < L\) sobre el suelo, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja cruce una unión?

Denotemos por \(D\) la distancia del centro de la aguja a la línea (unión) más cercana. Ahora, considere la línea normal que pasa por el centro de la aguja y denotemos por \(\theta\) el menor ángulo formado entre la aguja y esta normal. La figura a continuación ilustra la situación para dos lanzamientos distintos.

A partir de un lanzamiento, podemos entonces observar \(\theta\) y \(D\), donde necesariamente tendremos \[0 \leq \theta \leq \pi/2 \ \ \ \text{ y } \ \ \ 0 \leq D \leq L/2.\] Es decir, el resultado de un lanzamiento puede verse como una elección aleatoria de un punto \((\theta,D)\) en el rectángulo a continuación.

Admita que la probabilidad se distribuye uniformemente en este rectángulo, es decir, que la probabilidad \(P_W\) de que el punto obtenido tras un lanzamiento esté en una región dada \(W\) de este rectángulo es proporcional al área de \(W\). O también, \[P_W = \dfrac{\text{Área de }W}{\left(\pi L/4\right)},\] donde el denominador es el área del rectángulo. Ahora observe que la aguja cruzará una línea exactamente cuando \[D \leq \dfrac{l}{2}\cos(\theta),\] como se indica en la figura a continuación.

Por lo tanto, la aguja cruzará una línea exactamente cuando el par \((\theta,D)\) esté en la región rosa indicada en la figura a continuación.

Podemos entonces concluir que la probabilidad de que la aguja cruce una línea tras un lanzamiento es igual a:

\(\dfrac{2(L-l)}{L \pi}\)

\(\dfrac{\pi l}{2L }\)

\(\dfrac{l}{L \pi}\)

\(\dfrac{2(L-l)}{l \pi}\)

\(\dfrac{2l}{L \pi}\)

(cod: P-77-57-8) El objetivo de este ejercicio es calcular el área \(A\) de la región limitada por la elipse de ecuación \[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,\] donde \(a\) y \(b\) son números positivos (nótese que cuando \(a = b\), la ecuación define un círculo de radio \(a\)).

Por simetría, podemos calcular el área de la región en el primer cuadrante y multiplicar por \(4\).

Seleccione la alternativa correcta:

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \, \operatorname{sen}{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 2 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \cos \, \theta, \, \, \, \theta \in [0,\pi], \\ & & \\ dx &=& - a \, \operatorname{sen}\, {\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \tan{\theta} \, \, \, \, \theta \in (-\pi/2,\pi/2), \\ & & \\ dx &=& a \sec^2 \theta \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \sec^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \operatorname{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \operatorname{sen}^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

Tenemos que \[ A = 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx.\] Realizando la sustitución trigonométrica \begin{eqnarray*} x &=& a \, \operatorname{sen}\, \theta, \, \, \, \theta \in [-\pi/2,\pi/2], \\ & & \\ dx &=& a \cos{\theta} \, d \theta, \end{eqnarray*} obtenemos que \begin{eqnarray*} A &=& 4 \int_0^a \dfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\ & & \\ &=& 4 ab \int_0^{\pi/2} \cos^2{\theta} \, d\theta \\ & & \\ &=& \pi ab. \end{eqnarray*}

(cod: P-77-51-12) Considere un punto \(P = (\cosh{t},\, \operatorname{senh}\, {t})\) en el primer cuadrante sobre la hipérbola \[x^2 - y^2 = 1.\] El área de la región rosa en la figura a continuación es igual a:

(cod: P-79-49-12) Considere un cable flexible y homogéneo suspendido por sus extremos, sujetos a postes, ambos a la misma altura. El cable toma entonces la forma de una curva, conocida como catenaria (vale la pena estudiar la historia de este problema).

El objetivo de este ejercicio es describir una expresión para dicha curva y estudiar sus propiedades.

Supongamos que la altura de los postes es \(h\) y la distancia entre los postes es \(2b\). Posicionemos el eje \(x\) a la altura del suelo y el eje \(y\) según la figura, admitiendo que la curva es el gráfico de una función diferenciable \(y = f(x)\) que es par (simétrica respecto al eje \(y\)).

Denotemos por \(P\) el punto más bajo de la curva, según la figura a continuación, y sea \(Q = (x,f(x))\) un punto cualquiera de la curva, con \(x>0\). Describamos las fuerzas que actúan en el tramo de la curva entre los puntos \(P\) y \(Q\).

La fuerza de tensión en la cuerda es tangente a la curva y podemos descomponerla en componentes horizontal y vertical (note que dicha fuerza es horizontal en el punto \(P\)). Denotemos por \(T(x)\) el módulo de la fuerza de tensión en \(Q\). Si \(\theta = \theta(x)\) es el ángulo descrito en la figura, entonces, como no hay movimiento, debemos tener \begin{equation}\label{comp1}T_0 = T(x) \cos(\theta(x)). \end{equation} Observe, en particular, que la magnitud de la componente horizontal de la tensión, dada por \(T(x) cos(\theta(x))\), es igual en cualquier punto (no depende de \(x\)).

Desde el punto de vista vertical, tenemos que \[p(x) = T(x) \operatorname{sen}(\theta(x)),\] donde \(p(x)\) es el peso del cable entre \(P\) y \(Q\). Siendo el cable homogéneo, denotemos por \(\rho\) el peso del cable por unidad de longitud y por \(L(x)\) la longitud del tramo de la curva entre \(P\) y \(Q\). Entonces tenemos que \[p(x) = \rho L(x),\] es decir, \begin{equation}\label{comp2}\rho L(x) = T(x) \operatorname{sen}(\theta(x)). \end{equation} Por (\ref{comp1}) y (\ref{comp2}), concluimos que \[f'(x) = \tan(\theta(x)) = \dfrac{\rho L(x)}{T_0}.\] Considerando la constante \[a = \dfrac{\rho}{T_0},\] tenemos que \[f'(x) = a L(x),\] donde la longitud \(L(x)\) está dada por \[L(x) = \int_0^x \sqrt{1 + (f'(t))^2} \, dt.\] Por el Teorema Fundamental del Cálculo, \(L'(x) = \sqrt{1 + (f'(x))^2}\), luego \begin{eqnarray*} & & f''(x) = a \sqrt{1 + (f'(x))^2} \\ & & \\ &\iff& \dfrac{f''(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} = a. \end{eqnarray*} Queremos entonces obtener una función \(f(x)\) que satisfaga la ecuación anterior (dicha ecuación se denomina una ecuación diferencial de segundo orden). Escribiendo \(v(x) = f'(x)\), la ecuación diferencial anterior puede escribirse de manera más simple (convirtiéndose en una ecuación de primer orden): \[\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1 + (v(x))^2}} = a.\] Dicha ecuación puede resolverse integrando ambos lados. En la integral que surge del lado izquierdo, podemos hacer la sustitución \(u = v(x)\), obteniendo \[\int\dfrac{1}{{\sqrt{1 + u^2}}} \, du,\] donde observamos que el integrando es la derivada de la inversa del seno hiperbólico. Por lo tanto, obtenemos \begin{eqnarray*} & & \operatorname{arsenh}\, (v(x)) = ax + B \\ & & \\ &\iff& v(x) = \operatorname{senh}\, (ax+B) \\ & & \\ &\iff& f'(x) = \operatorname{senh}\, (ax+B). \end{eqnarray*} Considere las siguientes cuestiones:

(i) Use \(f'(0)\) para definir el valor de la constante \(B\). Luego, integre nuevamente para obtener la expresión de \(f(x)\). Al hacer esto, surgirá una nueva constante de integración. Utilice el valor de \(f(b)\) para determinar esta constante y definir la expresión de \(f(x)\).

(ii) Determine la longitud de esta catenaria. Sabiendo que la función es par, la longitud de la catenaria será el doble de la longitud del tramo en el primer cuadrante (tramo con \(x\) positivo).

(iii) La expresión de la catenaria depende del parámetro \(a\). Para dejar esto claro, denotemos la catenaria por \(y = f_a(x)\) y su longitud por \(\mathcal{L}_a\). Determine cuánto valen los límites \[\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) \, \, \, \text{ y } \, \, \, \lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a.\]

(i) Tenemos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h - \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) La longitud de la catenaria es igual a \(\dfrac{2\, \operatorname{senh}(ab)}{a}\).

(iii) Tenemos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = h\) y \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = 2b\).

(i) Tenemos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h + \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) La longitud de la catenaria es igual a \(\dfrac{2\, \operatorname{senh}(ab)}{a}\).

(iii) Tenemos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = 0\) y \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = 2b\).

(i) Tenemos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h - \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) La longitud de la catenaria es igual a \(\dfrac{2\, \cosh(ab)}{a}\).

(iii) Tenemos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = 0\) y \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = b\).

(i) Tenemos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h - \dfrac{\operatorname{senh}(ab)}{a}.\]

(ii) La longitud de la catenaria es igual a \(\dfrac{2b\, \cosh(a)}{a}\).

(iii) Tenemos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = h\) y \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = b\).

(i) Tenemos que \[f(x) = \dfrac{1}{a} \cosh(ax) + h + \dfrac{\cosh(ab)}{a}.\]

(ii) La longitud de la catenaria es igual a \(\dfrac{2\, \operatorname{senh}(b)}{a}\).

(iii) Tenemos que \(\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) = h\) y \(\lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a = 2b\).

(cod: P-79-52-8) Considere la superficie de revolución (ilimitada) obtenida al girar el gráfico de la función \[f(x) = \dfrac{1}{x}, \, \, \, x \in [1,+\infty)\] alrededor del eje de las abscisas. Dicha superficie se denomina trompeta de Gabriel.

Sea \(\mathcal{R}\) la región ilimitada ubicada debajo del gráfico de \(f\) y por encima del eje \(x\). Denotemos por \(W\) el sólido obtenido al girar la región \(\mathcal{R}\) alrededor del eje de las abscisas, es decir, \(W\) es el sólido delimitado por la trompeta de Gabriel.

Utilizando integración impropia, podemos afirmar que:

Tanto el área de la trompeta como el volumen delimitado por ella (es decir, el volumen de \(W\)) son finitos.

El área de la trompeta es el doble del volumen delimitado por ella (es decir, el volumen de \(W\)).

El área de la trompeta es menor que el volumen delimitado por ella (es decir, el volumen de \(W\)).

Tanto el área de la trompeta como el volumen delimitado por ella (es decir, el volumen de \(W\)) son infinitos.

El área de la trompeta es infinita, mientras que el volumen delimitado por ella (es decir, el volumen de \(W\)) es finito.

Sitio:	Proyecto DICA
Curso:	Área de Visitantes (es)
Libro:	Aplicaciones de la integral

Imprimido por:	Usuário visitante
Día:	miércoles, 24 de junio de 2026, 04:23

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