Integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo
(cod: P-69-44-5) O Teorema Fundamental do Cálculo, em suas duas partes, nos diz que, grosso modo, que derivação e integração são processos inversos. Em particular, o conceito de
primitiva ou antiderivada é central no estudo do Cálculo Diferencial e Integral. Dizemos que uma função \(F(x)\) é uma primitiva de \(f(x)\)
em um intervalo \(I\) se \(F'(x) = f(x)\) para todo \(x \in I\). Motivados pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
apresentamos o conceito de integral indefinida de uma função \(f\), que representa a forma geral de uma primitiva de \(f\)
em um intervalo.
Observe que, se duas funções \(F_1\) e \(F_2\) são primitivas de uma mesma função \(f\) em um intervalo aberto \(I\), então \(F_1\) e \(F_2\) possuem derivadas idênticas
em \(I\) e, portanto, diferem por uma constante. Assim, se \(F(x)\) é uma primitiva de \(f(x)\) em um intervalo aberto \(I\), a integral indefinida de \(f\) é definida por
\[\int f(x) \, dx = F(x) + C,\]
o que nos diz que a forma geral de uma primitiva de \(f\) em um intervalo \(I\) é dada pela função \(F\) mais uma constante. Note que o símbolo da integral
indefinida é o mesmo que foi introduzido na integral definida, exceto por não apresentar os limites de integração. Observe que a integral definida de uma função
em um intervalo \([a,b]\) é um número, enquanto a integral indefinida representa uma família de funções, ou a forma geral de uma primitiva de \(f\) num intervalo.
Por exemplo, sabemos que \(\dfrac{d}{dx}\text{sen}(x) = \cos(x)\). Temos então que
\[\int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C.\]
Considere as seguintes afirmações.
(1) Se \(p \ne -1\), então \[\displaystyle \int x^p \, dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C.\]
(2) \begin{eqnarray*} & & \int (x^3 - 2x^2 + 4x -2) \, dx \\ & & \\ &=& \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{2x^3}{3} + 2x^2 - 2x + C. \end{eqnarray*}
(3) Se \[\small{\begin{eqnarray*}p(x) &=& c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + c_1x + c_0 \\ & & \\ &=& \sum_{k = 0}^n c_k x^k \end{eqnarray*}}\] é uma função polinomial, então \begin{eqnarray*} & & \int p(x) \, dx \\ & & \\ &=& \small{\dfrac{c_n x^{n+1}}{n+1} + \cdots + \dfrac{c_1 x^2}{2} + c_0x + C} \\ & & \\ &=& C + \sum_{k=0}^n \dfrac{c_k x^{k+1}}{k+1}. \end{eqnarray*}
(4) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C.\)
(5) \(\displaystyle \int \text{sen}(x) \, dx = - \cos(x) + C\).
(6) \(\displaystyle \int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C\).
(7) \(\displaystyle \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C\).
(8) Se \(0 < b \ne 1\), \(\displaystyle \int b^x \, dx = \dfrac{b^x}{\ln{b}} + C\).<%9 % 12%>
(9) \(\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C\).
(10) \(\displaystyle \int \text{senh}\, x \, dx = \cosh{x} + C\).
(11) \(\displaystyle \int \cosh{x} \, dx = \text{senh} \, {x} + C\).
(12) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C\).
(13) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \, dt = \text{arsenh}\, {t} + C\).
A respeito dessas afirmações, temos que: