Derivadas | q001.html

(cod: P-49-43-6) Dizemos que uma função \(f\) é diferenciável ou derivável em um número \(x_0\) do seu domínio se existe \begin{equation}\label{eq1} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\end{equation} e, neste caso, a derivada de \(f\) em \(x_0\), denotada por \(f'(x_0)\), é dada pelo valor desse limite, ou seja,

\[f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.\] Para um valor de \(h\) fixado, a razão \[\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \] que aparece no limite (\ref{eq1}), pode ser interpretada como a inclinação (declive, ou coeficiente angular) da reta secante que passa pelos pontos \(P = (x_0+h,f(x_0+h))\) e \(P_0 = (x_0,f(x_0))\). Se \(f\) é diferenciável em \(x_0\), a reta que passa por \(P_0 = (x_0,f(x_0))\) e possui inclinação \(f'(x_0)\) é denominada reta tangente ao gráfico \(y = f(x)\) em \(P_0\). Na animação abaixo, a reta tangente em \(P_0\) aparece em lilás, em um caso em que \(x_0 = 1\).

Observamos que o limite em (\ref{eq1}) é equivalente ao limite \begin{equation}\label{eq3} \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},\end{equation} ou seja, se um deles existe, então o outro também existe e possui o mesmo valor.

Dada uma função \(f: U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), podemos considerar a derivada de \(f\) como sendo a função \[f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h},\] definida no conjunto \[ \{x \in U: \ f \text{ é diferenciável em } x\}.\] Dada uma função \(y = f(x)\), podemos utilizar uma outra forma de denotar sua derivada, conhecida como notação de Leibniz (observe que nesta notação, utilizamos \(\Delta x\) no lugar de \(h\)): \[\dfrac{dy}{dx} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\overbrace{f(x+\Delta x) - f(x)}^{\Delta y}}{\Delta x}.\] Na verdade, temos várias formas de denotar a derivada de uma função \(y = f(x)\). Apresentamos algumas abaixo: \[f'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx} \left(f(x)\right) = Df(x).\] A notação de Leibniz enfatiza o caráter da derivada como uma taxa de variação. Se \(y = f(x)\), note que \[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\] representa uma taxa média de variação de \(y\) com relação a \(x\). A derivada surge quando fazemos \(\Delta x\) tender a zero. Consideremos um exemplo mais específico. Suponha que um objeto realiza um movimento retilíneo, de modo que sua posição pode ser descrita a partir de uma função \(s = s(t)\) e representada graficamente como um ponto sobre um eixo. Note que \[\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}\] representa a velocidade média no intervalo de tempo entre os instantes \(t\) e \(t + \Delta t\). Neste caso, a derivada da função posição representa a velocidade instantânea do objeto no instante \(t\): \[\small{v(t) = \dfrac{ds}{dt} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}.}\]

Vimos que, ao derivarmos uma função, obtemos uma nova função, que é sua derivada. Podemos então derivar essa nova função, obtendo a segunda derivada ou derivada segunda ou derivada de segunda ordem. A derivada segunda de uma função \(y = f(x)\) é denotada por \[f''(x) \ \ \text{ ou } \ \ \dfrac{d^2 y}{dx^2} \ \ \text{ ou } \ \ f^{(2)}(x).\] Procedendo indutivamente, se \(k\) é um número natural, podemos considerar aa \(k\)-ésima derivada ou derivada de ordem \(k\) de \(y = f(x)\), a qual denotamos por \[f^{(k)}(x) \ \ \text { ou } \ \ \dfrac{d^k y }{dx^k}.\] Se \(s = s(t)\) descreve a posição de um objeto em movimento retilíneo, então a derivada segunda \(s''(t)\) representa a aceleração instantânea do objeto no instante \(t\).

Considere as seguintes questões:

(1) Se \(f\) é uma função diferenciável em um número \(x_0\) do seu domínio, então \(f\) é necessariamente contínua em \(x_0\)? Reciprocamente, se uma função \(f\) é contínua em um número \(x_0\) do seu domínio, então \(f\) é necessariamente diferenciável em \(x_0\)?

(2) Se \(n\) é um número natural, determine a reta tangente ao gráfico da função \(f(x) = x^n\) no ponto \(P_0 = (1,1)\).

(3) Um projétil é lançado verticalmente para cima. Sua altura, em pés, passados \(t\) segundos, é dada por \(s = s(t) = 144t - 16t^2, \ t \in [0,9]\). Determine a velocidade \(v(t)\) do projétil (em pés por segundo) e a aceleração \(a(t)\) do projétil (em pés por segundo ao quadrado).

Selecione a alternativa correta:

(1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são contínuas em um número \(x_0\), mas não são diferenciáveis em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 16t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -16. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são contínuas em um número \(x_0\), mas não são diferenciáveis em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Reciprocamente, se uma função é contínua em um número \(x_0\),então \(f\) é diferenciável em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) - 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32t. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é diferenciável em \(x_0\), então necessariamente ela é contínua em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são contínuas em um número \(x_0\), mas não são diferenciáveis em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) - 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 32t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -32t. \end{eqnarray*} (1) Se uma função é contínua em \(x_0\), então necessariamente ela é diferenciável em \(x_0\). Entretanto, existem funções que são diferenciáveis em um número \(x_0\), mas não são contínuas em \(x_0\).

(2) \(y = n(x-1) + 1.\)

(3) \begin{eqnarray*} v(t) &=& \dfrac{ds}{dt} &=& 144 - 16t, \\ & & \\ a(t) &=& \dfrac{d^2 s}{dt^2} &=& -16. \end{eqnarray*}