Integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo

(cod: P-67-37-4) O objetivo deste exercício é obter a área da região \(\mathcal{R}\) limitada pela parábola \(y = x^2\) e pelas retas \(y = 0\) (eixo \(x\)) e \(x=1\), utilizando um método de exaustão.

Fixado um número natural \(n\), dividimos o intervalo \([0,1]\) sobre o eixo \(x\) em \(n\) subintervalos iguais e, em seguida, subimos segmentos verticais de modo a dividir a região \(\mathcal{R}\) em \(n\) faixas. A figura abaixo ilustra a situação para \(n = 5\).

Primeiramente, vamos aproximar a área de cada uma das \(n\) faixas pela área de um retângulo, cuja base está sobre o eixo \(x\) ( medindo \(1/n\)) e cuja altura é dada pelo segmento vertical que coincide com o lado direito da respectiva faixa. A figura abaixo ilustra a situação quando \(n = 5\).

Podemos então aproximar a área de \(\mathcal{R}\) pela soma da área dos \(n\) retângulos, a qual denotamos por \(S_n\). Temos que \[\small{\begin{eqnarray*} S_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n}{n}\right)^2 \\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \right). \end{eqnarray*}} \] Uma outra possibilidade seria aproximar a área de cada faixa pela área de um retângulo de base \(\frac{1}{n}\) e altura dada pelo segmento vertical que coincide com o lado esquerdo da faixa (note que o primeiro retângulo terá altura zero, logo sua área também será zero). A figura exibe a situação quando \(n = 5\):

Podemos então aproximar a área de \(\mathcal{R}\) pela soma da área dos \(n\) retângulos, a qual denotamos por \(s_n\). Temos que \[\small{\begin{eqnarray*} s_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{0}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2 \\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 \right). \end{eqnarray*}} \] É possível verificar que as aproximações \(A(\mathcal{R}) \approx S_n\) e \(A(\mathcal{R}) \approx s_n\) melhoram quando aumentamos o valor de \(n\), como sugerem as animações abaixo:

Primeiro, note que, para cada \(n \in \mathbb{N}\), temos \[s_n \leq A(\mathcal{R}) \leq S_n.\] Agora, utilizando as expressões de \(s_n\) e \(S_n\) descritas acima, verifique que \(s_n\) e \(S_n\) tendem para um mesmo número real quando \(n\) tende para infinito. Definimos então \(A(\mathcal{R})\) como sendo igual a esse número. Selecione a opção correta:

(cod: P-67-38-6) O objetivo deste exercício é explorar o conceito de integrais definidas.

Considere uma função \(f\) definida em um intervalo \([a,b]\). Uma partição do intervalo \([a,b]\) é uma divisão de \([a,b]\) em subintervalos. Mais precisamente, uma partição é obtida a partir da escolha de pontos \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b},\] de modo a dividir o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos \[ [x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]. \] Em cada subintervalo da partição, escolhemos um ponto amostral. Para \( i \in \{1,2,\dots,n\}\), denotamos o \(i\)-ésimo ponto amostral por \[x_i^* \in [x_{i-1},x_i]\] e denotamos por \[\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\] o comprimento do \(i\)-ésimo subintervalo. Dadas essas escolhas, temos então uma soma de Riemman para \(f\) dada por \[\small{f(x_1^*)\Delta x_1 + f(x_2^*)\Delta x_2 + \cdots + f(x_n^*) \Delta x_n},\] ou ainda, utilizando a notação sigma, \[\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\] A figura abaixo ilustra a situação com \(n = 6\). Nela, as bases dos retângulos representam os subintervalos da partição (não exibimos os pontos \(x_1, x_2, \dots, x_n\) da partição, apenas os pontos amostrais).

No exemplo acima, cada uma das quatro primeiras parcelas da soma de Riemann representa a área de um retângulo azul, enquanto a última e a penúltima parcelas são negativas (pois \(f\) é negativa nos dois últimos pontos amostrais), sendo que o valor de cada uma dessas parcelas é obtida multiplicando a área de um retângulo rosa por \((-1)\).

Dizemos que \(f\) é integrável no intervalo \([a,b]\) se existe um número \(L\) tal que \[ \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i = L,\] onde esse limite significa que podemos tornar uma soma de Riemann tão próximo quanto quisermos de \(L\), independente das escolhas dos pontos amostrais, bastando para isso que o comprimento máximo dos subintervalos da partição seja suficientemente pequeno. Neste caso, dizemos que a integral definida de \(f\) de \(a\) até \(b\) é igual a \(L\). Utilizamos a notação \(\int_a^b f(x) \, dx\) para representar essa integral, de modo que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\]

Há um teorema importante que garante que se \(f\) é contínua em \([a,b]\), então \(f\) é integrável em \([a,b]\).

Sendo \(f\) uma função contínua em \([a,b]\) (portanto, integrável), podemos aproximar o valor da integral de \(f\) por somas de Riemann tomadas de modo sistemático. Para cada \(n \in \mathbb{N}\), tomemos uma partição regular de \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de mesmo comprimento \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\). Note que \(\Delta x \longrightarrow 0\) quando \(n \longrightarrow + \infty\). Assim, independente das escolhas dos pontos amostrais, temos que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] É claro que, fixada uma partição regular, existem inúmeras maneiras distintas de escolher pontos amostrais. Há algumas escolhas mais usuais, como, por exemplo, tomando como ponto amostral o ponto médio de cada subintervalo. Na animação abaixo, que ilustra o processo quando aumentamos \(n\), utilizamos como ponto amostral a extremidade direita de cada subintervalo. Para esta escolha, a soma de Riemann associada é chamada de soma de Riemann à direita.

Observamos que quando a função \(f\) é não negativa no intervalo \([a,b]\) (isto é, \(f(x) \geq 0\) para todo \(x \in [a,b]\)), a integral de \(f\) representa a área da região entre o eixo das abscissas e o gráfico de \(f\), com \(x\) entre \(a\) e \(b\). Entretanto, este não é o caso em geral. No exemplo de nossa ilustração, o valor da integral pode ser geometricamente interpretado como a diferença entre a área da região azul e a área da região rosa, conforme indicado abaixo.

Vamos nos ocupar agora de um exemplo específico. Considere a função \(f(x) = x^2 - 1\) e o intervalo \([-1,2]\). Para cada \(n\), considere a soma de Riemann à direita de \(f\) nesse intervalo. Temos que \[\Delta x = \dfrac{2 - (-1)}{n} = \dfrac{3}{n}\] e que o \(i\)-ésimo ponto amostral é dado por \[x_i^* = x_{i+1} = -1 + i\left(\dfrac{3}{n}\right).\] Assim, temos que \[f(x_i^*) = \left(-1 + \dfrac{3i}{n}\right)^2 - 1 = \dfrac{9i^2}{n^2} - \dfrac{6i}{n}.\] Portanto, \[f(x_i^*)\Delta x = 9 \left(\dfrac{3i^2}{n^3} - \dfrac{2i}{n^2} \right).\] Trabalhando algebricamente a expressão da soma de Riemann e, em seguinda, calculando o limite, podemos concluir que

(cod: P-67-43-8) Considere um objeto que se move com velocidade escalar \(V(t)\) (em metros por sengundo). Lembramos que a velocidade escalar é o módulo do vetor velocidade, portanto, é sempre não-negativa.

Se a velocidade escalar for constante em um intervalo de tempo \([a,b]\), ou seja, se \(V(t) = V_0\), para todo \(t \in [a,b]\), então a distância percorrida pelo objeto no intervalo de tempo \([a,b]\) é igual a \(V_0 (b-a)\).

Vamos então considerar o caso em que a velocidade escalar não é constante. Dividamos o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de tempo de mesmo comprimento \(\Delta t = \dfrac{b-a}{n}\). Se escolhemos \(n\) grande, esses subintervalos são bem pequenos, de modo que podemos admitir que a velocidade varia pouco em cada um desses subintervalos. Fazendo uma aproximação, considere que a velocidade no \(i\)-ésimo subintervalo é constante e igual a \(V(t_i^*)\), onde \(t_i^*\) é um instante amostral nesse subintervalo. Podemos, então, aproximar a distância percorrida no \(i\)-ésimo subintervalo de tempo por \(V(t_i^*)\Delta t\). A distância percorrida no intervalo de tempo \([a,b]\) pode então ser aproximada por \[L \approx \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t.\] O valor exato da distância percorrida no intervalo de tempo \([a,b]\) é dado então po \[L = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t = \int_a^b V(t) \, dt.\] Considere agora um objeto que é lançado verticamente (em movimento retilíneo), cuja altura (posição), em pés, passados \(t\) segundos, é dada por \[s = s(t) = 144t - 16t^2, \, \, t \in [0,9].\] A velocidade do objeto é dada por \(v(t) = \dfrac{ds}{dt}\). Observe que, como o movimento é retilíneo, a velocidade aponta sempre na mesma direção (direção do eixo do movimento), mas não necessariamente no mesmo sentido. A velocidade escalar, é dada por \(V(t) = |v(t)|\).

Considere as seguintes questões: (1) Determine a distância percorrida \[L = \int_0^9 V(t) \, dt.\] (2) Determine o valor da integral \[\int_a^b v(t) \, dt.\]

(cod: P-68-41-9) O objetivo deste exercício é apresentar uma demonstração para a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1): Seja \(f\) uma função contínua em um intervalo baerto \(I\) e seja \(a \in I\). A função \[F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\] é uma primitiva ou antiderivada de \(f\) em \(I\), ou seja, \[\dfrac{d}{dx}F(x) = f(x).\]

Obs: Note que a variável da função \(F\) é o limite superior de integração. Dentro da integral, para que não haja confusão, utilizamos outra letra para representar a variável (chamada variável muda). Aqui usamos \(t\), mas poderíamos ter usado qualquer outra.

Considere \(x \in I\) (na figura abaixo, tomamos \(x > a\), mas o argumento pode ser feito em qualquer caso) e tomemos \(h > 0\) de modo que \(x+h\) ainda esteja em \(I\).

Temos que \[F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) \, dt. \] Por outro lado, existe \(c = c_h\) (que depende de \(h\)) entre \(x\) e \(x+h\) tal que \[\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c_h)h. \] No caso em que \(f\) é positiva, a informação significa, geometricamente, que para um certo \(c_h\), a área da faixa marrom coincide com a área do retângulo de altura \(f(c_h)\) e base \(h\).

Portanto, \begin{eqnarray*}& & \lim\limits_{h \to 0^+} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \\ & & \\ &=& \lim\limits_{h \to 0^+} f(c_h) = f(x), \end{eqnarray*} uma vez que \(c_h \longrightarrow x\) quando \(h \to 0^+\) e \(f\) é contínua em \(x\). Podemos utilizar o mesmo argumento para o outro limite lateral, o que nos permite então concluir que \[F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x),\]

como queríamos demonstrar.

Obs: A parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz que qualquer função contínua em um intervalo aberto possui uma primitiva. Além disso, o teorema exibe uma expressão para tal primitiva por meio de uma integral.

Obs: Segundo o teorema, podemos escrever \[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x).\]

Obs: Se \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) é contínua no intervalo compacto \([a,b]\) e \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\), o mesmo argumento prova que \(F\) é diferenciável em \((a,b)\) (com \(F'(x) = f(x)\)) e possui derivada lateral à direita em \(a\) e à esquerda em \(b\), sendo portanto contínua em \([a,b]\).

Temos então algumas questões?

(1) Por que vale a afirmação em marrom?

(2) Qual resultado garante a validade da frase em azul?

(3) Qual a derivada da função abaixo? \[F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt\]

(cod: P-68-40-3) Teorema Fundamental do Cálculo: Se \(f(x)\) é uma função contínua em um intervalo \([a,b]\) e \(F\) é uma primitiva ou antiderivada de \(f\), isto é, \[\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x),\] então \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).\]

O objetivo deste exercício é apresentar uma demonstração para o Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Para cada natural \(n > 3\), considere a partição regular \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b}\] de \([a,b]\) em subintervalos de comprimento \(\Delta x = (b-a)/n\). Note que podemos escrever a variação de \(F\) em \([a,b]\) como a soma das variações de \(F\) nos subintervalos. De fato, temos que \begin{eqnarray*} & & F(b) - F(a) \\ & & \\ &=& F(x_n) - F(x_0) \\ & & \\ &=& \small{(F(x_n)- F(x_{n-1})) + (F(x_{n-1}) - F(x_{n-2}))} \\ & & \\ &+& \small{\cdots + (F(x_{2}) - F(x_{1})) + (F(x_1)-F(x_0))}. \end{eqnarray*} De fato, perceba que, na soma longa, podemos cancelar vários termos, obtendo apenas o primeiro e o último (soma telescópica). Assim, podemos concluir que \(\small{\begin{equation}\label{equa1}F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n F(x_i) - F(x_{i-1}).\end{equation}}\) Agora, para cada \(i \in \{1,2,\dots,n\}\), existe \(x_i^* \in (x_{i-1},x_i)\) tal que \[\dfrac{F(x_i) - F(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}} = F'(x_i^*),\] ou, equivalentemente, \[\small{F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(x_i^*) \Delta x = f(x_i^*) \Delta x}.\] Logo, segue da equação \((\ref{equa1})\) que, para qualquer \(n > 3\), \[F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] Fazendo \(n \to + \infty\) (considerando sempre \(x_i^*\) conforme mencionado), concluimos que \[F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx,\] como queríamos demonstrar.

Temos duas quesões:

(1) Qual teorema clássico garante que a frase em marrom é verdadeira?

(2) Por que a frase em azul é verdadeira?

(cod: P-69-44-5) O Teorema Fundamental do Cálculo, em suas duas partes, nos diz que, grosso modo, que derivação e integração são processos inversos. Em particular, o conceito de primitiva ou antiderivada é central no estudo do Cálculo Diferencial e Integral. Dizemos que uma função \(F(x)\) é uma primitiva de \(f(x)\) em um intervalo \(I\) se \(F'(x) = f(x)\) para todo \(x \in I\). Motivados pelo Teorema Fundamental do Cálculo, apresentamos o conceito de integral indefinida de uma função \(f\), que representa a forma geral de uma primitiva de \(f\) em um intervalo.

Observe que, se duas funções \(F_1\) e \(F_2\) são primitivas de uma mesma função \(f\) em um intervalo aberto \(I\), então \(F_1\) e \(F_2\) possuem derivadas idênticas em \(I\) e, portanto, diferem por uma constante. Assim, se \(F(x)\) é uma primitiva de \(f(x)\) em um intervalo aberto \(I\), a integral indefinida de \(f\) é definida por \[\int f(x) \, dx = F(x) + C,\] o que nos diz que a forma geral de uma primitiva de \(f\) em um intervalo \(I\) é dada pela função \(F\) mais uma constante. Note que o símbolo da integral indefinida é o mesmo que foi introduzido na integral definida, exceto por não apresentar os limites de integração. Observe que a integral definida de uma função em um intervalo \([a,b]\) é um número, enquanto a integral indefinida representa uma família de funções, ou a forma geral de uma primitiva de \(f\) num intervalo.

Por exemplo, sabemos que \(\dfrac{d}{dx}\text{sen}(x) = \cos(x)\). Temos então que \[\int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C.\] Considere as seguintes afirmações.

(1) Se \(p \ne -1\), então \[\displaystyle \int x^p \, dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C.\]

(2) \begin{eqnarray*} & & \int (x^3 - 2x^2 + 4x -2) \, dx \\ & & \\ &=& \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{2x^3}{3} + 2x^2 - 2x + C. \end{eqnarray*}



(3) Se \[\small{\begin{eqnarray*}p(x) &=& c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + c_1x + c_0 \\ & & \\ &=& \sum_{k = 0}^n c_k x^k \end{eqnarray*}}\] é uma função polinomial, então \begin{eqnarray*} & & \int p(x) \, dx \\ & & \\ &=& \small{\dfrac{c_n x^{n+1}}{n+1} + \cdots + \dfrac{c_1 x^2}{2} + c_0x + C} \\ & & \\ &=& C + \sum_{k=0}^n \dfrac{c_k x^{k+1}}{k+1}. \end{eqnarray*}

(4) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C.\)

(5) \(\displaystyle \int \text{sen}(x) \, dx = - \cos(x) + C\).

(6) \(\displaystyle \int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C\).

(7) \(\displaystyle \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C\).

(8) Se \(0 < b \ne 1\), \(\displaystyle \int b^x \, dx = \dfrac{b^x}{\ln{b}} + C\).<%9%12%>
(9) \(\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C\).

(10) \(\displaystyle \int \text{senh}\, x \, dx = \cosh{x} + C\).

(11) \(\displaystyle \int \cosh{x} \, dx = \text{senh} \, {x} + C\).

(12) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C\).

(13) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \, dt = \text{arsenh}\, {t} + C\).

A respeito dessas afirmações, temos que: