Límites y continuidad | q002.html

(cod: P-44-14-15) Sea \(P\) un punto en el primer cuadrante sobre la curva \(y = x^n\), donde n es un número natural mayor que 1. Considere el segmento \(\overline{OP}\) que une el punto \(P\) con el origen \(O\) y denotemos por \(M\) el punto medio de dicho segmento. Considere la recta \(r\) que es ortogonal al segmento \(\overline{OP}\) pasando por \(M\) y sea \(Q\) el punto dado por la intersección de \(r\) con el eje \(y\). La figura a continuación ilustra la situación en el caso \(n = 2\):

Queremos saber qué sucederá con el punto \(Q\) si hacemos que el punto \(P\) se acerque al origen, manteniendo la estructura descrita. Escribiendo \(P = (t,t^n)\) y \(Q = (0,q(t))\), seleccione la alternativa correcta:

Si \(n=2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 0\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,0)\). Por otro lado, si \(n >2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.

Si \(n=2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1/2\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,1/2)\). Por otro lado, si \(n >2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.

Para cada \(n>1\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1/n\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,1/n)\).

Si \(n=2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = 1\), es decir, el punto \(Q\) tenderá al punto \((0,1)\). Por otro lado, si \(n >2\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.

Cualquiera que sea \(n>1\), tenemos que \(\lim\limits_{t \to 0^+} q(t) = + \infty\), es decir, el punto \(Q\) ascenderá indefinidamente.