(cod: P-53-35-12) Considere la curva \(\mathcal{C}\) dada por la ecuación \[x^2 + 2xy + 3y^2 = 8.\] Tomamos un círculo \(C_r\) de radio \(r>0\) centrado en el origen de manera que contenga la curva \(\mathcal{C}\) en su interior. Luego, disminuimos \(r\) hasta que el círculo toque la curva \(\mathcal{C}\) en dos puntos \(P_1\) y \(P_2\), según la animación a continuación.


En los puntos \(P_1\) y \(P_2\), el círculo y la curva \(\mathcal{C}\) son tangentes, es decir, en cada uno de estos puntos, la curva \(\mathcal{C}\) y el círculo que la toca tienen la misma recta tangente. Observe que \(P_1\) y \(P_2\) son los puntos de la curva \(\mathcal{C}\) más alejados del origen. Denotemos por \(D_M\) la distancia de estos puntos al origen.

Tomamos ahora un círculo de radio \(r>0\) centrado en el origen y contenido en la región limitada por la curva \(\mathcal{C}\). Luego, aumentamos \(r\) hasta que el círculo toque la curva \(\mathcal{C}\) en los puntos \(P_3\) y \(P_4\), según la animación a continuación.


En los puntos \(P_3\) y \(P_4\), el círculo y la curva son tangentes. Note que \(P_3\) y \(P_4\) son los puntos de la curva \(\mathcal{C}\) más cercanos al origen. Denotemos por \(D_m\) la distancia de estos puntos al origen.

Utilizando diferenciación implícita y los hechos observados anteriormente, podemos verificar que los valores de \(D_M\) y \(D_m\) son, respectivamente: