(cod: P-67-43-8) Considere um objeto que se move com velocidade escalar \(V(t)\) (em metros por sengundo). Lembramos que a velocidade escalar é o módulo do vetor velocidade, portanto, é sempre não-negativa.

Se a velocidade escalar for constante em um intervalo de tempo \([a,b]\), ou seja, se \(V(t) = V_0\), para todo \(t \in [a,b]\), então a distância percorrida pelo objeto no intervalo de tempo \([a,b]\) é igual a \(V_0 (b-a)\).

Vamos então considerar o caso em que a velocidade escalar não é constante. Dividamos o intervalo \([a,b]\) em \(n\) subintervalos de tempo de mesmo comprimento \(\Delta t = \dfrac{b-a}{n}\). Se escolhemos \(n\) grande, esses subintervalos são bem pequenos, de modo que podemos admitir que a velocidade varia pouco em cada um desses subintervalos. Fazendo uma aproximação, considere que a velocidade no \(i\)-ésimo subintervalo é constante e igual a \(V(t_i^*)\), onde \(t_i^*\) é um instante amostral nesse subintervalo. Podemos, então, aproximar a distância percorrida no \(i\)-ésimo subintervalo de tempo por \(V(t_i^*)\Delta t\). A distância percorrida no intervalo de tempo \([a,b]\) pode então ser aproximada por \[L \approx \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t.\] O valor exato da distância percorrida no intervalo de tempo \([a,b]\) é dado então po \[L = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t = \int_a^b V(t) \, dt.\] Considere agora um objeto que é lançado verticamente (em movimento retilíneo), cuja altura (posição), em pés, passados \(t\) segundos, é dada por \[s = s(t) = 144t - 16t^2, \, \, t \in [0,9].\] A velocidade do objeto é dada por \(v(t) = \dfrac{ds}{dt}\). Observe que, como o movimento é retilíneo, a velocidade aponta sempre na mesma direção (direção do eixo do movimento), mas não necessariamente no mesmo sentido. A velocidade escalar, é dada por \(V(t) = |v(t)|\).

Considere as seguintes questões: (1) Determine a distância percorrida \[L = \int_0^9 V(t) \, dt.\] (2) Determine o valor da integral \[\int_a^b v(t) \, dt.\]