(cod: P-67-38-6) El objetivo de este ejercicio es explorar el concepto de integrales definidas.

Considere una función \(f\) definida en un intervalo \([a,b]\). Una partición del intervalo \([a,b]\) es una división de \([a,b]\) en subintervalos. Más precisamente, una partición se obtiene a partir de la elección de puntos \[\small{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b},\] de modo que divida el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos \[ [x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]. \] En cada subintervalo de la partición, elegimos un punto de muestra. Para \( i \in \{1,2,\dots,n\}\), denotamos el \(i\)-ésimo punto de muestra por \[x_i^* \in [x_{i-1},x_i]\] y denotamos por \[\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\] la longitud del \(i\)-ésimo subintervalo. Dadas estas elecciones, tenemos entonces una suma de Riemann para \(f\) dada por \[\small{f(x_1^*)\Delta x_1 + f(x_2^*)\Delta x_2 + \cdots + f(x_n^*) \Delta x_n},\] o también, utilizando la notación sigma, \[\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\] La figura a continuación ilustra la situación con \(n = 6\). En ella, las bases de los rectángulos representan los subintervalos de la partición (no mostramos los puntos \(x_1, x_2, \dots, x_n\) de la partición, solo los puntos de muestra).


En el ejemplo anterior, cada uno de los cuatro primeros términos de la suma de Riemann representa el área de un rectángulo azul, mientras que el último y el penúltimo términos son negativos (pues \(f\) es negativa en los dos últimos puntos de muestra), siendo que el valor de cada uno de estos términos se obtiene multiplicando el área de un rectángulo rosa por \((-1)\).

Decimos que \(f\) es integrable en el intervalo \([a,b]\) si existe un número \(L\) tal que \[ \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i = L,\] donde este límite significa que podemos hacer que una suma de Riemann sea tan cercana como queramos a \(L\), independientemente de las elecciones de los puntos de muestra, siempre que la longitud máxima de los subintervalos de la partición sea suficientemente pequeña. En este caso, decimos que la integral definida de \(f\) de \(a\) hasta \(b\) es igual a \(L\). Utilizamos la notación \(\int_a^b f(x) \, dx\) para representar esta integral, de modo que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{\text{máx } \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i.\]

Hay un teorema importante que garantiza que si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\).

Siendo \(f\) una función continua en \([a,b]\) (por lo tanto, integrable), podemos aproximar el valor de la integral de \(f\) por sumas de Riemann tomadas de manera sistemática. Para cada \(n \in \mathbb{N}\), tomemos una partición regular de \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de igual longitud \(\Delta x = \dfrac{b-a}{n}\). Observe que \(\Delta x \longrightarrow 0\) cuando \(n \longrightarrow + \infty\). Así, independientemente de las elecciones de los puntos de muestra, tenemos que \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x.\] Es claro que, fijada una partición regular, existen muchas maneras distintas de elegir puntos de muestra. Hay algunas elecciones más usuales, como, por ejemplo, tomando como punto de muestra el punto medio de cada subintervalo. En la animación a continuación, que ilustra el proceso cuando aumentamos \(n\), utilizamos como punto de muestra el extremo derecho de cada subintervalo. Para esta elección, la suma de Riemann asociada se llama suma de Riemann a la derecha.


Observamos que cuando la función \(f\) no es negativa en el intervalo \([a,b]\) (es decir, \(f(x) \geq 0\) para todo \(x \in [a,b]\)), la integral de \(f\) representa el área de la región entre el eje de abscisas y el gráfico de \(f\), con \(x\) entre \(a\) y \(b\). Sin embargo, este no es el caso en general. En el ejemplo de nuestra ilustración, el valor de la integral puede interpretarse geométricamente como la diferencia entre el área de la región azul y el área de la región rosa, como se indica a continuación.


Ocupémonos ahora de un ejemplo específico. Considere la función \(f(x) = x^2 - 1\) y el intervalo \([-1,2]\). Para cada \(n\), considere la suma de Riemann a la derecha de \(f\) en ese intervalo. Tenemos que \[\Delta x = \dfrac{2 - (-1)}{n} = \dfrac{3}{n}\] y que el \(i\)-ésimo punto de muestra está dado por \[x_i^* = x_{i+1} = -1 + i\left(\dfrac{3}{n}\right).\] Así, tenemos que \[f(x_i^*) = \left(-1 + \dfrac{3i}{n}\right)^2 - 1 = \dfrac{9i^2}{n^2} - \dfrac{6i}{n}.\] Por lo tanto, \[f(x_i^*)\Delta x = 9 \left(\dfrac{3i^2}{n^3} - \dfrac{2i}{n^2} \right).\] Trabajando algebraicamente la expresión de la suma de Riemann y, luego, calculando el límite, podemos concluir que