(cod: P-67-37-4) El objetivo de este ejercicio es obtener el área de la región \(\mathcal{R}\) limitada por la parábola \(y = x^2\) y las rectas \(y = 0\) (eje \(x\)) y \(x=1\), utilizando un método de agotamiento.


Fijado un número natural \(n\), dividimos el intervalo \([0,1]\) sobre el eje \(x\) en \(n\) subintervalos iguales y, a continuación, trazamos segmentos verticales de manera que dividimos la región \(\mathcal{R}\) en \(n\) franjas. La figura a continuación ilustra la situación para \(n = 5\).


Primero, aproximaremos el área de cada una de las \(n\) franjas por el área de un rectángulo, cuya base está sobre el eje \(x\) (midiendo \(1/n\)) y cuya altura está dada por el segmento vertical que coincide con el lado derecho de la respectiva franja. La figura a continuación ilustra la situación cuando \(n = 5\).


Podemos entonces aproximar el área de \(\mathcal{R}\) por la suma del área de los \(n\) rectángulos, la cual denotamos por \(S_n\). Tenemos que \[\small{\begin{eqnarray*} S_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n}{n}\right)^2 \\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \right). \end{eqnarray*}} \] Otra posibilidad sería aproximar el área de cada franja por el área de un rectángulo de base \(\frac{1}{n}\) y altura dada por el segmento vertical que coincide con el lado izquierdo de la franja (nótese que el primer rectángulo tendrá altura cero, por lo que su área también será cero). La figura muestra la situación cuando \(n = 5\):


Podemos entonces aproximar el área de \(\mathcal{R}\) por la suma del área de los \(n\) rectángulos, la cual denotamos por \(s_n\). Tenemos que \[\small{\begin{eqnarray*} s_n &=& \frac{1}{n}\left(\frac{0}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^2 \\ & & \\ &=& \dfrac{1}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 \right). \end{eqnarray*}} \] Es posible verificar que las aproximaciones \(A(\mathcal{R}) \approx S_n\) y \(A(\mathcal{R}) \approx s_n\) mejoran cuando aumentamos el valor de \(n\), como sugieren las animaciones a continuación:





Primero, nótese que, para cada \(n \in \mathbb{N}\), tenemos \[s_n \leq A(\mathcal{R}) \leq S_n.\] Ahora, utilizando las expresiones de \(s_n\) y \(S_n\) descritas anteriormente, verifique que \(s_n\) y \(S_n\) tienden a un mismo número real cuando \(n\) tiende a infinito. Definimos entonces \(A(\mathcal{R})\) como igual a este número. Seleccione la opción correcta: