(cod: P-67-43-8) Considere un objeto que se mueve con velocidad escalar \(V(t)\) (en metros por segundo). Recordemos que la velocidad escalar es el módulo del vector velocidad, por lo tanto, siempre es no negativa.

Si la velocidad escalar es constante en un intervalo de tiempo \([a,b]\), es decir, si \(V(t) = V_0\), para todo \(t \in [a,b]\), entonces la distancia recorrida por el objeto en el intervalo de tiempo \([a,b]\) es igual a \(V_0 (b-a)\).

Consideremos ahora el caso en que la velocidad escalar no es constante. Dividamos el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de tiempo de igual longitud \(\Delta t = \dfrac{b-a}{n}\). Si elegimos \(n\) grande, estos subintervalos son muy pequeños, de modo que podemos asumir que la velocidad varía poco en cada uno de estos subintervalos. Haciendo una aproximación, consideremos que la velocidad en el \(i\)-ésimo subintervalo es constante e igual a \(V(t_i^*)\), donde \(t_i^*\) es un instante de muestra en ese subintervalo. Podemos, entonces, aproximar la distancia recorrida en el \(i\)-ésimo subintervalo de tiempo por \(V(t_i^*)\Delta t\). La distancia recorrida en el intervalo de tiempo \([a,b]\) puede entonces ser aproximada por \[L \approx \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t.\] El valor exacto de la distancia recorrida en el intervalo de tiempo \([a,b]\) está dado por \[L = \lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^n V(t_i^*) \Delta t = \int_a^b V(t) \, dt.\] Considere ahora un objeto que es lanzado verticalmente (en movimiento rectilíneo), cuya altura (posición), en pies, transcurridos \(t\) segundos, está dada por \[s = s(t) = 144t - 16t^2, \, \, t \in [0,9].\] La velocidad del objeto está dada por \(v(t) = \dfrac{ds}{dt}\). Observe que, como el movimiento es rectilíneo, la velocidad siempre apunta en la misma dirección (dirección del eje del movimiento), pero no necesariamente en el mismo sentido. La velocidad escalar está dada por \(V(t) = |v(t)|\).

Considere las siguientes cuestiones: (1) Determine la distancia recorrida \[L = \int_0^9 V(t) \, dt.\] (2) Determine el valor de la integral \[\int_a^b v(t) \, dt.\]