Integrales y el Teorema Fundamental del Cálculo
(cod: P-68-41-9)
El objetivo de este ejercicio es presentar una demostración para la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.
Teorema Fundamental del Cálculo (parte 1): Sea \(f\) una función continua en un intervalo abierto \(I\) y sea \(a \in I\). La función
\[F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\]
es una primitiva o antiderivada de \(f\) en \(I\), es decir,
\[\dfrac{d}{dx}F(x) = f(x).\]
Obs: Nótese que la variable de la función \(F\) es el límite superior de integración. Dentro de la integral, para evitar confusión, utilizamos otra letra para representar la variable (llamada variable muda). Aquí usamos \(t\), pero podríamos haber usado cualquier otra.
Considere \(x \in I\) (en la figura a continuación, tomamos \(x > a\), pero el argumento puede hacerse en cualquier caso) y tomemos \(h > 0\) de modo que
\(x+h\) aún esté en \(I\).
Tenemos que
\[F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) \, dt. \]
Por otro lado, existe \(c = c_h\) (que depende de \(h\)) entre \(x\) y \(x+h\) tal que
\[\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(c_h)h. \]
En el caso en que \(f\) es positiva, la información significa, geométricamente, que para un cierto \(c_h\), el área de la franja marrón coincide con el área del rectángulo de altura \(f(c_h)\) y base \(h\).
Por lo tanto,
\begin{eqnarray*}& & \lim\limits_{h \to 0^+} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h}
\\ & & \\ &=& \lim\limits_{h \to 0^+} f(c_h) = f(x),
\end{eqnarray*}
una vez que \(c_h \longrightarrow x\) cuando \(h \to 0^+\) y \(f\) es continua en \(x\).
Podemos utilizar el mismo argumento para el otro límite lateral, lo que nos permite entonces concluir que
\[F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x),\]
como queríamos demostrar.
Obs: La parte 1 del Teorema Fundamental del Cálculo dice que cualquier función continua en un intervalo abierto posee una primitiva. Además, el teorema exhibe una expresión para tal primitiva mediante una integral.
Obs: Según el teorema, podemos escribir
\[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x).\]
Obs: Si \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) es continua en el intervalo compacto \([a,b]\) y \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\), el mismo argumento prueba que \(F\) es diferenciable en \((a,b)\) (con \(F'(x) = f(x)\)) y posee derivada lateral a la derecha en \(a\) y a la izquierda en \(b\), siendo por lo tanto continua en \([a,b]\).
¿Tenemos entonces algunas preguntas?
(1) ¿Por qué es válida la afirmación en marrón?
(2) ¿Qué resultado garantiza la validez de la frase en azul?
(3) ¿Cuál es la derivada de la función a continuación?
\[F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt\]