(cod: P-69-44-5) El Teorema Fundamental del Cálculo, en sus dos partes, nos dice, en términos generales, que la derivación y la integración son procesos inversos. En particular, el concepto de primitiva o antiderivada es central en el estudio del Cálculo Diferencial e Integral. Decimos que una función \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\) en un intervalo \(I\) si \(F'(x) = f(x)\) para todo \(x \in I\). Motivados por el Teorema Fundamental del Cálculo, presentamos el concepto de integral indefinida de una función \(f\), que representa la forma general de una primitiva de \(f\) en un intervalo.

Observe que, si dos funciones \(F_1\) y \(F_2\) son primitivas de una misma función \(f\) en un intervalo abierto \(I\), entonces \(F_1\) y \(F_2\) tienen derivadas idénticas en \(I\) y, por lo tanto, difieren por una constante. Así, si \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\) en un intervalo abierto \(I\), la integral indefinida de \(f\) se define por \[\int f(x) \, dx = F(x) + C,\] lo que nos dice que la forma general de una primitiva de \(f\) en un intervalo \(I\) está dada por la función \(F\) más una constante. Note que el símbolo de la integral indefinida es el mismo que se introdujo en la integral definida, excepto que no presenta los límites de integración. Observe que la integral definida de una función en un intervalo \([a,b]\) es un número, mientras que la integral indefinida representa una familia de funciones, o la forma general de una primitiva de \(f\) en un intervalo.

Por ejemplo, sabemos que \(\dfrac{d}{dx}\text{sen}(x) = \cos(x)\). Entonces tenemos que \[\int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C.\] Considere las siguientes afirmaciones.

(1) Si \(p \ne -1\), entonces \[\displaystyle \int x^p \, dx = \dfrac{x^{p+1}}{p+1} + C.\]

(2) \begin{eqnarray*} & & \int (x^3 - 2x^2 + 4x -2) \, dx \\ & & \\ &=& \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{2x^3}{3} + 2x^2 - 2x + C. \end{eqnarray*}



(3) Si \[\small{\begin{eqnarray*}p(x) &=& c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + c_1x + c_0 \\ & & \\ &=& \sum_{k = 0}^n c_k x^k \end{eqnarray*}}\] es una función polinómica, entonces \begin{eqnarray*} & & \int p(x) \, dx \\ & & \\ &=& \small{\dfrac{c_n x^{n+1}}{n+1} + \cdots + \dfrac{c_1 x^2}{2} + c_0x + C} \\ & & \\ &=& C + \sum_{k=0}^n \dfrac{c_k x^{k+1}}{k+1}. \end{eqnarray*}

(4) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C.\)

(5) \(\displaystyle \int \text{sen}(x) \, dx = - \cos(x) + C\).

(6) \(\displaystyle \int \cos(x) \, dx = \text{sen}(x) + C\).

(7) \(\displaystyle \int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C\).

(8) Si \(0 < b \ne 1\), \(\displaystyle \int b^x \, dx = \dfrac{b^x}{\ln{b}} + C\).<%9%12%>
(9) \(\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C\).

(10) \(\displaystyle \int \text{senh}\, x \, dx = \cosh{x} + C\).

(11) \(\displaystyle \int \cosh{x} \, dx = \text{senh} \, {x} + C\).

(12) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C\).

(13) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \, dt = \text{arsinh}\, {t} + C\).

Con respecto a estas afirmaciones, tenemos que: