(cod: P-79-49-12) Considere un cable flexible y homogéneo suspendido por sus extremos, sujetos a postes, ambos a la misma altura. El cable toma entonces la forma de una curva, conocida como catenaria (vale la pena estudiar la historia de este problema).


El objetivo de este ejercicio es describir una expresión para dicha curva y estudiar sus propiedades.

Supongamos que la altura de los postes es \(h\) y la distancia entre los postes es \(2b\). Posicionemos el eje \(x\) a la altura del suelo y el eje \(y\) según la figura, admitiendo que la curva es el gráfico de una función diferenciable \(y = f(x)\) que es par (simétrica respecto al eje \(y\)).


Denotemos por \(P\) el punto más bajo de la curva, según la figura a continuación, y sea \(Q = (x,f(x))\) un punto cualquiera de la curva, con \(x>0\). Describamos las fuerzas que actúan en el tramo de la curva entre los puntos \(P\) y \(Q\).


La fuerza de tensión en la cuerda es tangente a la curva y podemos descomponerla en componentes horizontal y vertical (note que dicha fuerza es horizontal en el punto \(P\)). Denotemos por \(T(x)\) el módulo de la fuerza de tensión en \(Q\). Si \(\theta = \theta(x)\) es el ángulo descrito en la figura, entonces, como no hay movimiento, debemos tener \begin{equation}\label{comp1}T_0 = T(x) \cos(\theta(x)). \end{equation} Observe, en particular, que la magnitud de la componente horizontal de la tensión, dada por \(T(x) cos(\theta(x))\), es igual en cualquier punto (no depende de \(x\)).

Desde el punto de vista vertical, tenemos que \[p(x) = T(x) \operatorname{sen}(\theta(x)),\] donde \(p(x)\) es el peso del cable entre \(P\) y \(Q\). Siendo el cable homogéneo, denotemos por \(\rho\) el peso del cable por unidad de longitud y por \(L(x)\) la longitud del tramo de la curva entre \(P\) y \(Q\). Entonces tenemos que \[p(x) = \rho L(x),\] es decir, \begin{equation}\label{comp2}\rho L(x) = T(x) \operatorname{sen}(\theta(x)). \end{equation} Por (\ref{comp1}) y (\ref{comp2}), concluimos que \[f'(x) = \tan(\theta(x)) = \dfrac{\rho L(x)}{T_0}.\] Considerando la constante \[a = \dfrac{\rho}{T_0},\] tenemos que \[f'(x) = a L(x),\] donde la longitud \(L(x)\) está dada por \[L(x) = \int_0^x \sqrt{1 + (f'(t))^2} \, dt.\] Por el Teorema Fundamental del Cálculo, \(L'(x) = \sqrt{1 + (f'(x))^2}\), luego \begin{eqnarray*} & & f''(x) = a \sqrt{1 + (f'(x))^2} \\ & & \\ &\iff& \dfrac{f''(x)}{\sqrt{1 + (f'(x))^2}} = a. \end{eqnarray*} Queremos entonces obtener una función \(f(x)\) que satisfaga la ecuación anterior (dicha ecuación se denomina una ecuación diferencial de segundo orden). Escribiendo \(v(x) = f'(x)\), la ecuación diferencial anterior puede escribirse de manera más simple (convirtiéndose en una ecuación de primer orden): \[\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1 + (v(x))^2}} = a.\] Dicha ecuación puede resolverse integrando ambos lados. En la integral que surge del lado izquierdo, podemos hacer la sustitución \(u = v(x)\), obteniendo \[\int\dfrac{1}{{\sqrt{1 + u^2}}} \, du,\] donde observamos que el integrando es la derivada de la inversa del seno hiperbólico. Por lo tanto, obtenemos \begin{eqnarray*} & & \operatorname{arsenh}\, (v(x)) = ax + B \\ & & \\ &\iff& v(x) = \operatorname{senh}\, (ax+B) \\ & & \\ &\iff& f'(x) = \operatorname{senh}\, (ax+B). \end{eqnarray*} Considere las siguientes cuestiones:

(i) Use \(f'(0)\) para definir el valor de la constante \(B\). Luego, integre nuevamente para obtener la expresión de \(f(x)\). Al hacer esto, surgirá una nueva constante de integración. Utilice el valor de \(f(b)\) para determinar esta constante y definir la expresión de \(f(x)\).

(ii) Determine la longitud de esta catenaria. Sabiendo que la función es par, la longitud de la catenaria será el doble de la longitud del tramo en el primer cuadrante (tramo con \(x\) positivo).

(iii) La expresión de la catenaria depende del parámetro \(a\). Para dejar esto claro, denotemos la catenaria por \(y = f_a(x)\) y su longitud por \(\mathcal{L}_a\). Determine cuánto valen los límites \[\lim\limits_{a \to 0^+} f_a(0) \, \, \, \text{ y } \, \, \, \lim\limits_{a \to 0^+} \mathcal{L}_a.\]