(cod: P-77-50-5) Agujas de Buffon: Considere un suelo hecho de tablas de \(L\) centímetros de ancho. Al lanzar una aguja de longitud \(l < L\) sobre el suelo, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja cruce una unión?




Denotemos por \(D\) la distancia del centro de la aguja a la línea (unión) más cercana. Ahora, considere la línea normal que pasa por el centro de la aguja y denotemos por \(\theta\) el menor ángulo formado entre la aguja y esta normal. La figura a continuación ilustra la situación para dos lanzamientos distintos.


A partir de un lanzamiento, podemos entonces observar \(\theta\) y \(D\), donde necesariamente tendremos \[0 \leq \theta \leq \pi/2 \ \ \ \text{ y } \ \ \ 0 \leq D \leq L/2.\] Es decir, el resultado de un lanzamiento puede verse como una elección aleatoria de un punto \((\theta,D)\) en el rectángulo a continuación.


Admita que la probabilidad se distribuye uniformemente en este rectángulo, es decir, que la probabilidad \(P_W\) de que el punto obtenido tras un lanzamiento esté en una región dada \(W\) de este rectángulo es proporcional al área de \(W\). O también, \[P_W = \dfrac{\text{Área de }W}{\left(\pi L/4\right)},\] donde el denominador es el área del rectángulo. Ahora observe que la aguja cruzará una línea exactamente cuando \[D \leq \dfrac{l}{2}\cos(\theta),\] como se indica en la figura a continuación.


Por lo tanto, la aguja cruzará una línea exactamente cuando el par \((\theta,D)\) esté en la región rosa indicada en la figura a continuación.


Podemos entonces concluir que la probabilidad de que la aguja cruce una línea tras un lanzamiento es igual a: