Limites e continuidade | q006.html

(cod: P-43-17-7) Seja \(p(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\), onde \(n \in \mathbb{N}\), uma função polinomial com coeficientes reais. Selecione a alternativa correta:

Suponha que \(n\) é ímpar. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = \infty\) e \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to +\infty} p(x) = +\infty\). De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui ao menos uma raiz real.

Suponha que \(n\) é ímpar. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = +\infty\) e \(\lim\limits_{x \to \infty} p(x) = -\infty\). De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui ao menos uma raiz real.

Suponha que \(n\) é par. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau par com coeficientes reais possui ao menos uma raiz real.

Suponha que \(n\) é par. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = -\infty.\) Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty\). De qualquer modo, existem \(a < b\) tais que \(p(a)\) e \(p(b)\) possuem sinais opostos. Como \(p(x)\) é contínua em \(\mathbb{R}\), portanto em \([a,b]\), segue do Teorema do Valor Intermediário que existe ao menos um ponto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \(p(x_0) = 0\). Em resumo, todo polinômio de grau par com coeficientes reais possui ao menos uma raiz

Suponha que \(n\) é ímpar. Se \(a_n>0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = -\infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = + \infty.\) Porém, se \(a_n<0\), temos que \(\lim\limits_{x \to - \infty} p(x) = + \infty\) e \(\lim\limits_{x \to + \infty} p(x) = +\infty\). Portanto, não é possível afirmar que todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais possui uma raiz real.