(cod: P-64-24-11) Considere as seguintes afirmações:

(1) Se \(f\) é uma função diferenciável em um intervalo aberto \(I\), com \(f'(x) > 0\), para todo \(x \in I\), então \(f\) é crescente em \(I\).

(2) Se \(x_0\) é um ponto crítico de \(f\), então \(f\) possui um máximo local ou um mínimo local em \(x_0\).

(3) Seja \(f:I \subset \mathbb{R}\) uma função contínua em um intervalo aberto \(I\). Suponha que exista um intervalo \((a,b)\) tal que \(x_0 \in (a,b) \subset I\) de modo que \(f'(x)<0\), para todo \( x \in (a,x_0)\) e \(f'(x)<0\), para todo \(x \in (x_0,b)\). Neste caso, podemos afirmar que \(x_0\) é um ponto de máximo local.

(4) Se \(f\) é uma função duas vezes diferenciável tal que \(f''(x) >0\) para todo \(x\) em um intervalo aberto \(I\), então \(f'\) é crescente em \(I\). Ou seja, \(f\) é côncava para cima em \(I\), de modo que o seu gráfico fica abaixo de todas as suas tangentes em \(I\).

(5) Se \(f''(x_0) = 0\), então \((x_0,f(x_0))\) é um ponto de inflexão do gráfico de \(f\).

(6) Suponha que \(f'(x_0) = 0\) e que \(f\) seja duas vezes diferenciável em \(x_0\). Se \(f''(x_0) > 0\), então \(f\) possui um máximo local em \(x_0\).

A respeito dessas afirmações, temos que: